Различие между потоками пост и пренумерандо заключается в том что финансовые расчеты сдвинуты на один цикл и это приводит к дополнительному однократному начислению процентов (1+r) иными словами схема потока пренумерандо более выгодно для накопления денежных средств, логика оценки денежного потока пренумерандо аналогично логике оценки потока постнумерандо, прямая задача формула расчета будущей стоимости пред потока пренумерандо будет иметь вид FV = PV pre *(1+r)
Обратная задача формула расчета приведенной стоимость пренумерандо будет иметь вид PV pre = FV pst *(1+r) так если в предыдущем примере предположить исходный поток представляет собой поток пренумерандо т.е. регулярные доходы по ц.б. будут выплачиваться не в конце а в начале периода то его дисконтированная стоимость будет равна PV pre = 44,97* 1,12=50,37
=6= оценка аннуитетов
Аннуитет это частный случай денежного потока в котором денежные поступления в каждом периоде одинаковы по величине (А). аннуитеты могут быть срочными и бессрочными если число равных временных интервалов ограничено то такой аннуитет называется срочным, если не ограничено то бессрочным. Согласно видам денежных потоков выделяют два типа аннуитетов и постнумерандо и пренумерандо. Примеров срочного аннуитета постнумерандо может служить регулярное поступления арендой платы в одинаковом размере если договором аренды предусмотрена оплата по истечении каждого периода. Примером срочного аннуитета пренумерандо могут быть периодические денежные вклады на банковский счет в начале каждого месяца с целью накопления средств для крупной покупки
Т.к. в формулах оценки денежных потоков рассмотренных ранее одинаковые денежные поступления А могут быть вынесены за знак суммы формулы оценки аннуитетов значительно упрощаются
формула 1 FV apst = k (A)*(1+r) t-k =A* t-k
т.к. аннуитет как вид денежного потока характеризуется одинаковыми временными интервалами и одинаковой величиной элементов денежного потока целесообразно математически преобразовать второй множитель данной формулы без выделения периодов (К)
будущая стоимость аннуитета постнумерандо определяется по
формуле 2 FA apst =
второй множитель можно определить расчетным путем, а можно воспользоваться финансовыми таблицами. В таблицах данный множитель носит название мультиплицирующего множителя для аннуитета FM3(r:t) формула 3 FA apst = A*FM3 (r;t)
будущая стоимость аннуитета пренумерандо определяется по
формуле 4 FV apre = A*FM3 (r;t)*(1+r)
пример организации предложили сдать в аренду оборудование на 5 лет и выбрать один из вариантов оплаты
а) 12 т.р. ежегодно
б) 85 т.р. в конце 5го срока
какой вариант выгоднее если банк предлагает 20% годовых по вкладам
условие А=12 t =5 r=0,2
А)решение FV apst =F*FV apst (0,2;5)
FV apst = 12*7,442=89,3
2. Обратная задача (с позиции дисконтирования)
Путем аналогичного преобразования формула оценки дисконтированного денежного потока упрощается в формулы оценки дисконтированного аннуитета в постнумерандо и пренумерандо.
формула 5 PV apst = A* или PV apst =A*FM4 (r:t)
Второй множитель данной формулы можно определить расчетным путем а можно воспользоваться финансовыми таблицами. В таблицах данный множитель носит название дисконтированного множителя аннуитета FM4(r;t)
Дисконтированная стоимость аннуитета пренумерандо определяется по формуле 6 PV apre = PV apst *(1+r) на практическом примере дать оценку дисконтированной стоимости аннуитета можно с помощью метода депозитной книжки
=7= метод депозитной книжки
Расчет текущей стоимости аннуитета с помощью метода депозитной книжки заключается в том что сумма положенная на депозит приносит доход в виде процента и при снятии с депозита некоторой суммы базовая величина с которой начисляются проценты уменьшается. Текущая стоимость аннуитета это величина депозита с общей суммой причитающихся процентов ежегодно уменьшающаяся на равные суммы величина годового платежа остается неизменной (а аннуитет) его структура постоянно меняется. Если в начальные в нем преобладают начисленные за очередной период проценты, то с точением времени доля процентных платежей уменьшается и повышается доля части погашаемого основного долга. Логику и счетные процедуры метода рассмотрим на примере.
Пример: Предприятие получена ссуда сроком на 5лет в сумме 450 т.р. под 14% годовых которая начисляется по схеме сложных процентов на не погашенный остаток возвращать долг необходимо равными суммами в конце каждого года. Определить величину годового платежа А.
Решение: для лучшего понимания метода целесообразно рассуждать с позиции кредитора для банка данная сумма представляет собой отток денежных средств. В дальнейшем в течении 5лет банк ежегодно будет получать в конце года сумму годового платежа (А) в данной постановке задачи мы имеем дело с оценкой дисконтированной стоимости аннуитета постнумерандо о котором известны его текущая стоимость (PV apst), процентная ставка (r) и продолжительность действия (t) подставляем данные в формулу дисконтированной стоимости аннуитета постнумерандо
PV apst =A*FM4(0,14;5) 450т.р.=А*3,433 отсюда сумма годового платежа равна А=450/3,433=131,08
Для наглядности динамику платежей предоставим в таблице
Аннуитет постнумерандо с ежегодными платежами Р в течение n i c .
Общая наращенная сумма определяется по формуле:
где
k
i
,
n
– коэффициент
наращения в удобном для вычислений виде
равен:
Коэффициент наращения может быть определён по таблице 3 наращенного значения аннуитета.
Пример 13. Для погашения пакета облигаций, выпущенных ОАО «Интерком» на 5 лет, создаётся выкупной фонд. Ежегодные платежи предприятия в него составляют 150 000 руб., на них в конце каждого года начисляются проценты по ставке 7 %. Определите итоговую наращенную сумму денежных средств.
Решение. Для расчёта будущей стоимости выкупного фонда используем формулу
Коэффициент
наращения определим по формуле
Аналогичный результат получим по
таблице.
Итоговая
наращенная сумма будет равна S
= P
∙
150 000
∙ 5,7507 = 862605 руб.
Таблица
3. Коэффициенты наращения а
ннуитета
Аннуитет пренумерандо
Аннуитет пренумерандо с ежегодными платежами Р в течение n лет, на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке i c .
Очевидно, отличие от предыдущего случая состоит здесь в том, что период начисления процентов на каждый платеж увеличивается на один год, т. е. каждая наращенная сумма S k увеличивается в (1 + i c ) раз. Следовательно, для всей суммы S n имеем S n = S (1 + i c ).
Для
коэффициента наращения аннуитета
пренумерандо
получаем
следующее соотношение:
Для
определения современных значений
каждого платежа дисконтирование по
заданной ставке i
c
проводится
на один раз меньше, чем в случае аннуитета
постнумерандо.
Поэтому каждая современная величина
А
к
будет
больше в
(1
+ i
)
раз. Таким образом, А п
=
А(1 + i
c
).
А
для коэффициента приведения a
i
,
n
п
получаем
Для определения коэффициентов наращения и приведения обыкновенного аннуитета существуют таблицы, которыми удобно пользоваться в практических вычислениях. Нужно иметь в виду, что n в данном случае – не число лет, а число периодов одинаковой продолжительности (день, месяц, квартал и т. д.), в которых принята данная процентная ставка. Таким образом, если задана годовая процентная ставка, можно найти эквивалентную ей ставку на более коротком интервале и рассматривать далее п как число таких интервалов.
Пример 14. Найти современную величину потока платежей, определяемого следующим образом: первый год – поступления 500 руб., второй год – поступления 200 руб., третий год – выплата 400 руб., далее в течение семи лет – доход по 500 руб. Ставка дисконтирования – 6% годовых.
Решение .
В
данном примерепоток
платежей в течение последних семи лет
представляет собой постоянный аннуитет.
По формуле
мы
можем рассчитать его современную
величину A
0 .
Нельзя
забывать,
что это будет современная величина на
момент начала четвертого
периода: A
0
=
500 5,58 = 2791 руб. (коэффициенты
приведения находим по таблице 4.
Далее,
используя формулу
,
находим современные значения на момент
начала потока платежа для всех оставшихсяплатежей
и величины A
0
:
А 1 = 500 0,943 = 471,5 руб.;
А 2 = 200 0,890 = 178,0 руб. ; А 3 = –400 0,840 = –336,0 руб.;
А 4 = 2791 0,840 = 2344,4 руб.;
Складывая получившиеся величины, находим современную величину всего потока платежей: А 0 = А 1 + А 2 + А 3 + А А = 2657,9 руб.
Таблица
4. Коэффициенты приведения аннуитета
_________________________________________________________________________________________
В большинстве современных коммерческих операций подразумеваются не разовые платежи, а последовательность денежных поступлений (или, наоборот, выплат) в течение определенного периода. Это может быть серия доходов и расходов некоторого предприятия, выплата задолженностей, регулярные или нерегулярные взносы для создания разного рода фондов и т. д. Такая последовательность называется потоком платежей.
Поток. однонаправленных платежей с равными интервалами между последовательными платежами в течение определенного количества лет называется аннуитетом (финансовой рентой).
Теория аннуитетов является важнейшей частью финансовой математики. Она применяется при рассмотрении вопросов доходности ценных бумаг, в инвестиционном анализе и т. д. Наиболее распространенные примеры аннуитета: регулярные взносы в пенсионный фонд, погашение долгосрочного кредита, выплата процентов по ценным бумагам.
Аннуитеты различаются между собой следующими основными характеристиками:
- величиной каждого отдельного платежа;
- интервалом времени между двумя последовательными платежами (периодом аннуитета);
- сроком от начала аннуитета до конца его последнего периода (бывают и неограниченные по времени - вечные аннуитеты);
- процентной ставкой, применяемой при наращении или дис-контировании платежей.
Аннуитет, для которого платежи осуществляются в начале соответствующих интервалов, носит название аннуитета пренуме-рандо; если же платежи осуществляются в конце интервалов, мы получаем аннуитет постнумерандо (обыкновенный аннуитет) -пожалуй, самый распространенный случай.
Наибольший интерес с практической точки зрения представляют аннуитеты, в которых все платежи равны между собой (постоянные аннуитеты), либо изменяются в соответствии с некоторой закономерностью. Именно такие аннуитеты мы и изучим в дальнейшем.
Введем следующие обозначения:
Р - величина каждого отдельного платежа;
ic -сложная процентная ставка, по которой начисляются проценты;
Sk -наращенная сумма для k-го платежа аннуитета постнумерандо;
S- наращенная (будущая) сумма всего аннуитета постнумерандо (т. е. сумма всех платежей с процентами);
Ak -современная величина k-го платежа аннуитета постнумерандо;
А - современная величина всего аннуитета постнумерандо (т. е. сумма современных величин всех платежей);
Sп - наращенная сумма аннуитета пренумерандо;
Aп -современная величина аннуитета пренумерандо;
n - число платежей.
Рассмотрим аннуитет постнумерандо с ежегодными платежами Р в течение п лет, на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке i c (рис. 5).
Рис. 5.
Сумма S 1 для первого платежа, проценты на который будут начисляться, очевидно, (n - 1) раз, составит по формуле (3.1):
S 1 = Р(1 + i c) n-1
Для второго платежа (проценты на него будут начисляться на один год меньше) имеем
Sn=P Тогда для общей наращенной суммы имеем
- (7.1)
где ki,n- коэффициент наращения аннуитета с параметрами i, n - представляет собой, как можно заметить, сумму членов геометрической прогрессии, для которой первый член a 1 равен 1, а знаменатель (назовем его q)составляет (1 + i c).
Используя математическую формулу для суммы членов геометрической прогрессии:
запишем выражение (7.1) в более удобном для вычислений виде:
Для коэффициента наращения, соответственно, имеем
Найдем теперь современную величину А данного аннуитета (рис. 6).
Рис. 6.
При заданной процентной ставке ic современное значение каждого платежа будет определяться по формуле:
Современная величина всего аннуитета, следовательно, составит
где ai,n - коэффициент приведения аннуитета, опять является суммой геометрической прогрессии, теперь уже с параметрами а 1 =q=1/(1 +i c).
Тогда для ai,n получаем выражение:
для современной величины А соответственно
Как видим, современная величина и наращенная сумма аннуитета связаны между собой соотношением:
S=A(1+i c) n (7.6)
Из полученных формул путем преобразований легко получить еще несколько формул.
Так, для определения размера очередного платежа (Р) имеем
Для определения срока аннуитета (п), при прочих заданных условиях, получаем
Для конкретных вычислений выбирается одна из двух формул каждой пары в зависимости от заданных известных величин.
Очевидно, отличие от предыдущего случая состоит здесь в том, что период начисления процентов на каждый платеж увеличива-
Рис. 7. Будущая стоимость аннуитета пренумерандо
ется на один год, т. е. каждая наращенная сумма Skувеличивается в (1 + ic)раз. Следовательно, для всей суммы Sпимеем
Для коэффициента наращения аннуитета пренумерандо k п i,n получаем следующее соотношение:
Можно также заметить, что для определения современных значений каждого платежа дисконтирование по заданной ставке ic проводится на один раз меньше, чем в случае аннуитета пренумерандо. Поэтому каждая современная величина Аkбудет больше в (1 +0 раз. Таким образом,
А для коэффициента приведения а п i,n получаем
a п i,n =a i,n (1+i c) (7.14)
Для нахождения размера платежа и срока аннуитета пренумерандо можно по формулам (7.11) и (7.13) найти для заданных значений Sпи Aп соответствующие значения Sи А и пользоваться далее формулами, выведенными для аннуитета постнумерандо.
Для определения коэффициентов наращения и приведения обыкновенного аннуитета существуют таблицы, которыми удобно пользоваться в практических
вычислениях. Максимальные процентные ставки в таких таблицах обычно не превышают 30-40%, что значительно ниже размера процентных ставок, применяемых в России в настоящее время. Но нужно иметь в виду, что п в данном случае - не число лет, а число периодов одинаковой продолжительности (день, месяц, квартал и т. д.), в которых принята данная процентная ставка. Таким образом, если задана годовая процентная ставка, можно найти эквивалентную ей ставку на более коротком интервале и рассматривать далее п как число таких интервалов.
Если срок аннуитета n не ограничен, мы получаем случай вечного аннуитета. Для аннуитета постнумерандо выражения для наращенной суммы и современной величины приобретут следующий вид:
Для аннуитета пренумерандо, соответственно, получаем
Таким образом, различие между двумя типами вечных аннуитетов, естественно, сказывается на определении их современной величины.
Не менее важен случай, когда последовательность платежей изменяется по некоторому закону, и, следовательно, также может быть описана с помощью математических средств.
Рассмотрим обыкновенный аннуитет, в котором платежи постоянно увеличиваются на определенную положительную величину h,т. е. являются членами арифметической прогрессии с первым членом a1 = Р и разностью h. Т. е. платежи представляют собой ряд:
Р, Р+ h, Р+ 2h,... Р+ (п- 1)h.
Для наращенной суммы всего аннуитета получаем следующее выражение:
S=Р(1+ i c) n-1 + (Р+ h)(1+ ic) n-2 + (р+ 2h)(1+ ci) n-3 +...+ [Р+ (n -1)h].
Умножим обе части данного равенства на (1 + ic) вычтем первое выражение из полученного после умножения:
S ic= P(1+ ic)n -[Р+(п -1)h]+h(1+ ic)n-1+ h(1+ ic)n-2+...+ h(1+ ic).
Видно, что часть полученного равенства представляет собои сумму членов геометрической прогрессии, где a1= h{1+ ic); q = = (1 + ic). После несложных преобразований получаем:
Найдем теперь современное значение аннуитета А.
Умножим обе части равенства на (1 + i c) n .
A(1+i c) n =P(l+i c) n-1 +(P+ h)(1+i c) n-2 + ... + =S.
Как видим, в данном случае верна формула (7.6), полученная ранее для обыкновенного аннуитета:
А (1 + i с) n - S,
Возможен также случай, когда платежи постоянно возрастают в q раз, т. е. являются членами геометрической прогрессии:
Р, Pq, Pq 2 , ... , Pq n-1 , Тогда для наращенной суммы аннуитета имеем
S=Р[(1+ i c) n-1 + q(1+ i c) n-2 +/(1+ i c) n-3 +...+q n-1 ].
В квадратных скобках мы получили геометрическую прогрессию с первым членом а1 =(1 + ic)nи знаменателем q/(1 + ic). Используя опять формулу для суммы геометрической прогрессии, получаем выражение для S:
S=P/.
Очевидно, чтобы найти современное значение аннуитета А, здесь также можно применить формулу (7.6):
A=P/.
Теперь мы имеем возможность решить пример по определению потока платежей произвольной величины.
Найти современную величину потока платежей, определяемого следующим образом: первый год - поступления 500 ам. долл., второй год - поступления 200 ам. долл., третий год - выплата 400 ам. долл., далее в течение семи лет - доход по 500 ам. долл. Ставка дисконтирования - 6% годовых. Решение
В данном примере поток платежей в течение последних семи лет представляет собой постоянный аннуитет. По формуле (7.5) мы можем рассчитать его современную величину aq. Нельзя забывать, что это будет современная величина на момент начала четвертого периода:
500 5,58 = 2791 (ам. долл.)
(коэффициенты приведения находим по таблице 4 Приложения 2). Далее, используя формулу (3.11), находим современные значения на момент начала потока платежа для всех оставшихся платежей и величины aq:
А1 = 500 0,953 = 471,5 (ам. долл.);
A2 =200 0,89 = 178 (ам. долл.);
А3 = 400 0,840 =336 (ам. долл.);
А4=2791 0,840 = 2344,44 (ам. долл.).
Складывая получившиеся величины, находим современную величину всего потока платежей:
A =A1 +А2+ А3+ А4= 2657,94 ам. долл.
Современная величина аннуитета
Во всех случаях, когда в произвольном потоке платежей встречаются серии, которые могут быть описаны как постоянные или изменяющиеся по некоторому за-
кону аннуитеты, следует обращать внимание на начальный момент и срок этих аннуитетов, не совпадающие с начальным моментом и сроком полного потока платежей.
Следующий этап нашего изучения -конверсия аннуитетов. Под конверсией аннуитета понимается такое изменение начальных параметров аннуитета, после которого новый аннуитет был бы эквивалентен данному.
Два аннуитета считаются эквивалентными, если равны их современные величины, приведенные к одному и тому же моменту времени.
На практике необходимость рассчитать параметры эквивалентного аннуитета чаще всего возникает при изменении условий выплаты долга, погашения кредита или займа и т. п. При этом конверсия может произойти как в момент начёта аннуитета (на этот момент и рассчитываются современные величины эквивалентных аннуитетов), так и после выплаты некоторой части аннуитета. В последнем случае все расчеты производятся на остаток долга в момент конверсии.
Рассмотрим наиболее распространенные случаи конверсии постоянных аннуитетов.
1. Через некоторый промежуток времени n0 (он может быть равен и 0)после начала аннуитета весь остаток долга может быть выплачен за один раз (выкуп аннуитета). Очевидно, что в этом случае величина выплачиваемой суммы будет равна современной величине остатка аннуитета, рассчитанной для срока n1 = n- n0.
- 2. Может возникнуть задача, обратная предыдущей: задолженность погашается частями, в виде выплаты постоянного аннуитета, и требуется определить один из параметров аннуитета при заданных остальных. Поскольку здесь известна сумма долга, т. е. современная величина аннуитета, для нахождения неизвестного параметра используем формулы (7.8)или (7.10).
- 3. Период выплаты долга может быть изменен при сохранении прежней процентной ставки. Величину Р1 платежа для срока n1 находим, используя уравнения эквивалентности (приравниваются современные значения аннуитетов):
Очевидно, что. если срок аннуитета увеличится, значение Р сократится. и наоборот.
4. Может возникнуть ситуация, когда величина платежа P должна быть изменена в ту или другую сторону. Рассмотрим данный случай на примере 28.
Для погашения кредита, выданного под сложную процентную ставку 4%годовых, в течение 10лет должны вноситься ежегодные платежи в размере 5 000ам. долл. Изменившиеся условия дают возможность с самого начала вносить по 7 500ам. долл. Определить новый срок n1, за который долг будет полностью выплачен. Решение
Рассчитаем сначала современную величину имеющегося аннуитета (которая и представляет собой величину долга на начальный период). По формуле (7.5)получаем
А= 5 000 /0,04 - 40554,5(ам. долл.). Далее для изменившегося Р найдем коэффициент приведения аннуитета по той же формуле:
аi,n =А/Р 1 = 40554,5ам. долл./ 7500ам. долл. = 5,4.
Используя таблицу 4Приложения 2найдем значение n 1 , более всего подходящее данному коэффициенту при процентной ставке4%, округляя его в меньшую сторону: n 1 = 6. Поскольку значениеn1найдено приближенно, необходимо рассчитать современное значение нового аннуитета:
А1 = 7 500 /0,04 = 39 316(ам. долл.). Если величины платежей изменяться не могут, недостающая сумма A0 = 40 554,5 - 39316 = 1238,5(ам. долл.) должна быть выплачена кредитору сразу. (Пример, когда в такой ситуации корректируются величины платежей, рассматривается в конце этого раздела).
5. Начало выплаты задолженности при заданной процентной
ставке ic может быть отсрочено: а) при сохранении размера платежа; б) при сохранении срока выплаты.
Очевидно, что в первом случае должен увеличиться срок аннуитета, а во втором -величина платежа.
Обозначим через n 0 период отсрочки. Тогда на момент начала выплаты, сумма долга а1, которая должна являться современной величиной нового аннуитета, составит по формуле сложного процента:
A1=A(1+ic) n0 . Отсюда получаем уравнение эквивалентности:
Р = P (1 + i c) n0
Далее поступаем аналогично рассмотренным ранее случаям. В первом варианте находим значение n1 продолжительности нового аннуитета при заданном значении Р1 = Р (n1 будет найдено приближенно, поэтому потребуется выплата компенсирующей суммы, см. пример 28). Во втором - величину платежа Р1 при n 1 = = n – n 0 .
6. В некоторых случаях может потребоваться объединение нескольких аннуитетов в один (консолидация аннуитетов). При этом объединяемые аннуитеты могут быть любыми, а в искомом объединяющем аннуитете один из параметров неизвестен при всех остальных заданных.
Два аннуитета с параметрами:
- 1) величина платежа - 2 000 ам. долл., процентная ставка - 5% годовых, срок - 12 лет;
- 2) величина платежа - 3 500 ам. долл., процентная ставка - 6% годовых, срок - 10 лет;
требуется заменить одним - со сроком 10 лет и процентной ставкой 6% годовых.
Определить величину нового платежа.
Найдем сначала общую современную величину двух аннуитетов. По формуле (7.5) имеем
А = A1 +A2=2000/0,05+ + 3 500 /0,06 = = 17 726,5 + 25 760,3 = 43 486,8 (ам. долл.). Далее по формуле (7.7) находим величину нового платежа:
Р = 43 486,8 0,06/ = 5 930 (ам. долл.).
Нам остается теперь рассмотреть важное практическое приложение теории аннуитетов - составление различных вариантов (планов) погашения задолженности. При составлении плана по-
гашения интерес представляют размеры периодических платежей заемщика - выплаты процентов и выплаты по погашению основной суммы долга - при различных условиях погашения (такие платежи носят название срочных уплат).
Основных вариантов погашения задолженности - пять:
- 1. Займы без обязательного погашения, по которым постоянно выплачиваются проценты. Задача в данном случае заключается в нахождении размера выплачиваемой суммы Р при заданной процентной ставке /. Мы имеем здесь случай вечного аннуитета. Размер платежа определяется по формуле (7.15), из которой получаем P=Ai c .
- 2. Погашение долга в один срок
Если заемщик должен вернуть всю сумму долга в конце срока, целесообразным бывает создание погасительного (амортизационного) фонда, для чего периодически вносятся определенные суммы, на которые начисляются проценты.
Если процентная ставка, под которую вносятся средства, не превышает размеров ставки, под которую выдается заем, создание погасительного фонда не имеет смысла. Выгоднее сразу расплачиваться этими суммами с кредитором.
Введем обозначения:
D- основная сумма долга (без процентов);
i c -ставка процента по займу;
I - процент по займу;
Р - размер взноса в погасительный фонд;
g -ставка, по которой начисляются проценты на взносы в фонд;
У - величина срочной уплаты;
n -срок займа.
Найдем величину срочной уплаты У и ее составляющих (К=1+Р).
По определению I = D i c .
Сумма, накопленная в погасительном фонде за n лет, т. е. наращенная сумма аннуитета с параметрами Р, п, g, должна составить величину D. По формуле (7.2) получаем
D = Р[(1 +g)n-1]/g. Отсюда
P=Dg/[(1 +g)n-1].
Значит, в данном случае величина срочной уплаты определяется формулой:
Y=Di c + Dg/[(1+ g) n -1]. (7.23)
Если проценты не выплачиваются, а присоединяются к основной сумме долга, то срочная уплата будет состоять только из взносов в погасительный фонд.
Общая сумма долга составит по формуле (3.1) величину D(1 + ic)n, откуда получаем
Y= Р= D(1 +i c) n g/[(1+g) n -1].
3. Погашение долга равными суммами
Пусть долг погашается в течение n лет равными суммами, а проценты периодически выплачиваются. Тогда на погашение постоянно идут платежи размером D/n, а процентные выплаты ежегодно сокращаются, так как уменьшается основная сумма долга. Обозначим
Dk- сумма долга после k-го года:
Ik - процентная выплата за k-й год. Тогда
D1= D- D/n = D(1 -1/n);
На конец второго года получаем D2= D1- D/n= D(1 -2/);
I2= D(1- 1/n)ic;
Y2 = D(1 -1/n) ic+ D/n,и т. д.
Для определения размера срочной уплаты и процентного платежа после k-го года получаем Dk= D(1- k/n);
Ik= D(1 -(k-1)/n] ic:
Yk= D ic+ D/n.
На конец срока, т. е. n-го года имеем
Dn= D(1- n/n) = 0:
Yn= D |1 – (n -1)/n] ic+ D/n = D (1 + ic)/n. Видно, что самые большие суммы приходится платить в начале периода погашения, что может в большинстве случаев расцениваться как недостаток этого метода погашения задолженности.
4. Погашение долга с использованием постоянных срочных уплат
Пусть займ величиной D, выданный пол сложную годовую процентную ставку ic, погашается в течение /; лет равными срочными уплатами Y= 1 + Р. Понятно, что со временем составляющая I
- (проценты по займу) будет уменьшаться, так как уменьшается основная сумма задолженности. Соответственно, составляющая Р (сумма, идущая на погашение займа) будет увеличиваться.
Выведем формулы для расчета суммы процентных денег и суммы на погашение долга на конец k-го года.
Периодическая выплата постоянной суммы Y при заданной процентной ставке ic в течение п лет является аннуитетом с соответствующими параметрами.
Поэтому величина срочной уплаты определяется по формуле (7.9):
Y= D/a i,n (a i,n - коэффициент приведения ренты).
Обозначив через Рk сумму, идущую на погашение займа в конце k-го года, запишем следующие соотношения:
- 1)I k +P k =I k+1 +P k+1 ;
- 2) D k = D k-1 - P k ;
- 3) I k = D k-1 i с. откуда D k-1 = Ik/ic;
- 4) Ik+1= Dkic, откуда Dk =Ik+1/ic
Подставляя выражения 3) и 4) в соотношение 2), получим
Ik+1/ic=Ik/i c -рk, откудаi k+1 =Ik-P k i c Перепишем выражение 1), используя последнее равенство:
Ik+ Pk= Ik- Pkic+ Pk+1
откуда получаем
Pk+1=Pk(1+ic)=P1(1+ic) k
Так как I 1 = Di c для Р, получаем
P1=D/a i,n -Di c =D (l/a i,n -ic). Следовательно,
Pk=D(1/a i,n -ic)(1+ic) k-1
Ik=D k-1 ic =Dic/с - D (1/a i,n -ic)[(1 + i c) k-1 ].
Когда займ погашается постоянными срочными уплатами, их величина может быть заранее задана, и тогда возникает задача определения периода погашения долга п. Вопрос определения срока аннуитета рассматривался ранее в связи с конверсией анну-
итетов. При этом для выполнения принципа эквивалентности необходимо было доплатить недостающую сумму (возникающую в результате округления полученного п) в начале периода погашения. Вместо этого возможно также небольшое изменение размера срочных уплат.
Рассмотрим для прояснения ситуации пример.
Займ в размере 12000 ам. долл. выдан под сложную процентную ставку 4% годовых. Определить продолжительность периода погашения, если заемщик собирается выплачивать ежегодно по 1 500 ам. долл. Составить график погашения долга.
Рассчитаем сначала коэффициент приведения аннуитета ад д:
a 4,n = A/Р = 12 000 ам. долл./l 500 ам. долл. = 8.
По таблице определим приблизительно п, соответствующее данному коэффициенту и процентной ставке 4%. Так как nп = 10 соответствует коэффициент а 4,10 =8,11, возьмемnп = 9 и рассчитаем для этого срока и современной величины А = 12 000 ам. долл. новое значение платежа Р. Используем для этого формулу (7.8), находя значение коэффициента приведения по таблице 4 Приложения 2.
Р = А/а 4,9 = 12 000 ам. долл./7 ,435 = 1 614 ам. долл.
Составим теперь график погашения долга, в который должны входить процентные выплаты, расходы по погашению долга, остаток долга на конец каждого года.
Используя выведенные ранее формулы, находим искомые значения:
|
Сумма долга на конец года |
Срочная уплата (Y) |
Проценты (I/) |
Выплата на погашение (Р) |
|
Небольшое расхождение в остатке долга на конец 8-го года и сумме последней выплаты на погашение происходит из-за округления некоторых значений предыдущих сумм.
5. Погашение долга с использованием переменных срочных уплат
Во многих случаях предпочтительнее оказывается погашение долга с использованием переменных срочных уплат. Срочные уплаты могут изменяться в соответствии с некоторой закономерностью или задаваться графиком погашения.
Рассмотрим случай, когда последовательность срочных уплат представляет собой арифметическую профессию с заданной разницей h. При сроке погашения п и процентной ставке ic, используя формулу (7.20), находим величину срочной уплаты Р:
Р = [А i c +nпh/(1 +ic) n - h а i,n ]/ исходя из которой разрабатывается план погашения долга.
6. На практике часто встречается случай, когда заранее задаются размеры всех срочных уплат, кроме последней, определяемой величиной остатка долга на начало последнего периода (см. пример 31).
Долг в размере 10 000 ам. долл. требуется погасить за пять лет, размеры срочных уплат в первые четыре года - 2 000 ам. долл., 2 000 ам. долл., 4 000 ам. долл., 1 500 ам. долл. Найти величину последней уплаты, если процентная ставка составляет 5% годовых.
Разработаем план погашения долга.
Проценты за первый год составляют
I1 = Dic=10 000 0,05 = 500 (ам. долл.).
Р1 = Y1 - I1 = 1 500 ам. долл.;
D1= D-P1 = 8 000 ам. долл.
Для последующих лет получаем
I2 = D 1 i с = 8500 ам. долл. 0,05 = 425 ам. долл.;
Р 2 = Y 2 -I 2 = 2 000 - 425= 1 575 (ам. долл.):
D 2 = D 1 -P 2 =8 500 - 1 575 = 6 925 (ам. долл.);
I 3 =D 2 ic=6925 ам. долл. * 0,05=346,25, ам. долл.;
Р 3 = Yз -Iз = 4 000 - 346,25 = 3 653,75 (ам. долл.);
D 3 = D 2 -Рз = 6 925 - 3 653.75 = 3 271,25 (ам. долл.);
I 4 =D 3 ic= 3 271,25 ам. долл. 0,05 = 163,56 ам. долл.;
P 4 =Y 4 -I 4 = 1500 - 163,56 = 1 336,44 (ам. долл.):
D 4 =D 3 -P 4 =3 271,25 - 1 336,44 = 1 934,81 (ам. долл.);
I 5 =D 4 ic = 1 934,81 ам. долл. 0,05 = 96,74 ам. долл.;
Y 5 =D 4 +I 5 =1934,81=96,74=2031,55 (ам. долл.); P4= D4= 1 934,81 ам. долл.
Итак, величина последней уплаты должна составить 2031,55 ам. долл.
Аннуитет – это общепринятый термин, который означает структуру погашения финансового механизма (ежемесячная оплата кредита, процентов и т.д.).
Аннуитетные выплаты структурируются одинаковыми суммами через одинаковое количество времени. График погашения, предоставленный данным способом, имеет определенные отличия от обычного графика погашения, где вся сумма должника направлена на конец срока финансового механизма. При обычном графике построения выплат сначала происходит оплата процентов, а только потом списывается основная сумма долга.
Иными словами, аннуитет представляет собой определенную систему выплаты задолженности, где сумма долга и процентов выплачиваются равномерно в течение всего срока кредитования. Еще аннуитет называют финансовой рентой, что по своей составляющей одно и то же.
Например, если заработная плата работнику начисляется каждый месяц в равном количестве, то данный доход является аннуитетным. При оформлении рассрочки в магазине на какой-либо товар, ежемесячный платеж в банк тоже будет иметь статус аннуитета.
Виды аннуитета
Сумма аннуитетного платежа всегда складывается из основного долга и процентных соотношений. В своем понятии данный термин имеет широкий охват: аннуитетом могут считаться:
- срочный государственный заем в виде кредита, где ежегодно происходит оплата процентов и частично оплачивается сумма долга;
- обыкновенный кредит для физических и юридических лиц;
- страховой договор, который позволяет физическому лицу, заключившему его, рассчитывать на определенные выплаты по истечению заявленного срока времени (к примеру, выход на пенсию);
- серия страховых выплат (например, при несчастном случае).
Аннуитет всегда устанавливается банковскими организациями индивидуально для каждого клиента. Он бывает двух видов:
- аннуитет постнумерандо, где платеж должен осуществляться во второй половине отчетного периода;
- аннуитет преднумерандо, где платеж должен осуществляться в первой половине отчетного периода.
Также аннуитет делится на:
При срочном аннуитете средства зачисляются в определенный период, который имеет ограниченное количество времени. Поступление денег характеризуется равными частями и через одинаковый промежуток времени. Расчет данного вида аннуитета происходит по системе наращения или по системе дисконтирования. Дисконтирование – это выявление стоимости выплат при помощи изучения денежных поступлений к определенной временной точке. Проще говоря, это анализ соотношения будущих доходов к их сегодняшней стоимости. Примерами срочных аннуитетов могут быть разного рода платежи за аренду жилья, земли и др.
Бессрочным аннуитетом принято считать равные выплаты через равный промежуток времени в течение долгого срока. Консоль является отличным примером для понимания специфики бессрочного аннуитета. Данные облигации, поддерживаемые государством, имеют срок действия более 30 лет.
Аннуитетные выплаты имеют различие по количеству выплат. Они могут выплачиваться как один раз в год, так и несколько раз в течение года (при срочном аннуитете).
Начисление процентов может происходить один раз в год, несколько раз в год или непрерывно. Этот вопрос всегда решается в индивидуальном порядке между банковской организацией и клиентом.
В зависимости от финансовой ситуации в стране или политики банка, могут устанавливаться:
Для того, чтобы определить сумму равных выплат по кредитованию в течение определенного времени, необходимо рассчитать коэффициент аннуитета, который способен преобразовать единовременную выплату в платежный график.
Расчет аннуитета (формулы)
Для расчета данного коэффициента используется специальная общепринятая формула:
С практической точки зрения могут возникать некоторые расхождения от математического расчета при помощи формулы: для удобства совершения платежа может быть применена система округления суммы выплат или же округление суммы проводится из-за разного числа дней в том или другом месяце. В особенности это касается последнего месяца в графике платежей. По факту, замыкающая список сумма всегда отличается в меньшую сторону на некоторое значение.
Практически всегда при аннуитете платежи производятся в конце отчетного периода – постнумерандо. В данном случае, сумма выплаты за период должна рассчитываться по другой формуле:
Для того, чтобы более детально рассмотреть структуру аннуитетных платежей, стоит решить простую задачку. Например, нужно рассчитать ежемесячную выплату по кредиту сроком на пять лет и с суммой в 30 тысяч рублей под 8% годовых. Выплаты будут осуществляться ежемесячно, то необходимо перевести годовую процентную ставку в месячную. Делается это по довольно простой формуле:
Далее нужно подставить в формулу значения i = 0.00643 и n = 60 (5 лет – это 60 месяцев). Полученный коэффициент нужно умножить на величину кредита – 30000. В итоге получаем, что сумма ежемесячного платежа равна примерно 603 рубля.
Выплата кредитного займа происходит обычно каждый месяц или каждый квартал. При таких выплатах задается годовая процентная ставка i. При условии, что выплаты назначаются постнумерандо m раз в год за n лет, то существует формула, которая отличается от предыдущей формулы повышенной точностью расчета аннуитетного коэффициента:
Указанная формула для расчета коэффициента аннуитетных платежей основывается на наращении величины долговой суммы при помощи сложной процентной формулы. В банковских расчетах имеется еще одна формула для определения коэффициента, которая основывается на наращении величины долговой суммы при помощи простой процентной формулы. Отличительная черта простых и сложных процентов – это отсутствие промежутка в капитализации процентных соотношений. В данном раскладе будет в первую очередь производиться погашение основного долга, а уже после его оплаты пойдет оплата процентов.
Стоит отметить, что выполнять все вышеперечисленные действия собственноручно – это очень долго и трудоемко. Уйдет большое количество времени, чтобы разобраться в одним человеком, а если нужно рассчитать несколько сотен аннуитетов, то ситуация для простого сотрудника банка окажется совершенно невыполнимой. Поэтому при оформлении кредита работники банковских организаций имеют в своем арсенале специальные калькуляторы и программы, где нужно только правильно вписать числовые значения, и они самостоятельно рассчитают график аннуитетных платежей для каждого клиента.
Достоинства аннуитетных платежей
Аннуитетные платежи являются одним из современных способов погашения кредитного долга перед банком. Данный вариант оплаты долгового обязательства не всегда является выгодным для клиента, но отличается повышенным удобством – отсутствует неразбериха «когда платить и в каком количестве». Платеж по кредиту поступает ежемесячно в одно и то же время и в одинаковом денежном эквиваленте. Это огромный плюс для клиента и для банковской организации: нет нужды идти в банк и брать расчетный лист для выявления суммы долга на последующий месяц.
Помимо этого данный способ оплаты кредита предпочтителен для тех лиц, которые имеют невысокий заработок.
Вместе с аннуитетными платежами существует оплата кредитного долга по дифференцированной системе, где выплаты ежемесячно подвергаются перерасчету, потому что происходит оплата части процентов от конечной величины долга клиента. С каждым месяцем после оплаты кредита сумма долга уменьшается и, соответственно, процентная величина также изменяется. Выходит, что каждый месяц необходимо вносить все меньшее количество денег, но первоначальные суммы платежа достаточно высокие и не каждое лицо имеет возможность их вносить.
Недостатки
У данного вида платежей имеется один большой минус: первоначально выплаты строятся с преобладанием процентного эквивалента, т.е. сумма долга строится на 2/3 из процентов, а 1/3 – это сумма долга.
Аннуитет является выгодным банковской организации: сначала банк обезопасит себя, забрав проценты, а потом уже «примет» кредитные деньги.
Если клиент намерен досрочно погасить свой долг, то эту операцию следует произвести до того момента, как будут выплачены проценты. Данная операция практически не будет иметь смысла при погашении «после» — сумму, отданную за проценты, никто не вернет. В таком случае досрочное погашение просто избавит от кредитного обязательства.
Подведя итог, можно сказать, что аннуитет – это хороший выход для заемщиков, которые имеют долговое обязательство и не обладают высоким уровнем дохода. Ведь всегда легче и проще платить раз в месяц одинаковую сумму в один и тот же день.
Часть 2
Вычисление текущей стоимости купонных платежей- В нашем примере годовая купонная ставка равна 10%, а текущая годовая рыночная процентная ставка равна 12%.
- Купонные выплаты осуществляются дважды в год, поэтому общее количество купонных платежей (до погашения облигации) равно 10.
-
Вычислите купонную ставку за один период платежей. Для этого годовую купонную ставку разделите на количество купонных платежей. В нашем примере годовая купонная ставка равна 10%. Купонные выплаты осуществляются дважды в год. Поэтому купонная ставка за один период платежей равна 5% (0,10/2 = 0,05).
Вычислите сумму купонного платежа. Для этого перемножьте основную сумму облигации и купонную ставку за один период платежей. В нашем примере основная сумма облигации равна 500000 рублей. Купонная ставка за один период платежей равна 5%. Сумма каждого купонного платежа равна 25000 рублей (500000 * 0,05 = 25000).
Вычислите коэффициент текущей стоимости простого аннуитета (PVOA). Он используется для вычисления суммы купонных платежей, которая была бы выплачена в настоящий момент. Этот коэффициент вычисляется на основании текущей рыночной процентной ставки. Формула: [ (1 − (1 / (1 + r) n)) / r ] {\displaystyle [(1-(1/(1+r)^{n}))/r]} , где r – текущая рыночная процентная ставка за период, n – общее число купонных платежей.
Найдите нужную информацию. Текущая стоимость купонных платежей вычисляется на основании текущих рыночных процентных ставок. Поэтому нужно выяснить размеры годовой купонной ставки и годовой рыночной процентной ставки. Также необходимо узнать количество купонных платежей (выплат) за год и общее количество купонных выплат.
