Функция денежной единицы сложный процент. Шесть функций сложного процента это не так уж сложно! Вольнова Вера Александровна сертифицированный РОО оценщик недвижимости оценщик TEGoVA

Сложные проценты применяют в тех случаях, когда процент по кредитам (ссудам) выплачивают не сразу, а его присоединя­ют к сумме долга с последующим определением наращенной суммы FV. Такая процедура начисления «процент на процент» называется капитализацией. Наращение идет по сложному про­центу в геометрической прогрессии, а процесс компаудинга (на­копления) описывается уравнением FV= PV(1+i) n

В свя­зи с этим для расчета процентной суммы используется следую­щая формула:

где i - годовая ставка;

n - количество периодов начисления;

m - число периодов начисления;

n*m - общее число периода начисления.

Когда интервалы между очередными платежами постоянны, то такую последовательность называют финансовой рентой или аннуитетом. Аннуитет (серия равновеликих платежей в течение n-периодов) называется обычным, если платежи осуществляются в конце каждого периода, и авансовым, если платежи осуществ­ляются в начале каждого периода.

Первая функция сложного процента - аккумулированная сум­ма капитала. Мы уже убедились, что в отличие от простого про­цента сложный предполагает, что доход приносит не только пер­воначальная сумма, но и полученный ранее процент на нее. Для определения стоимости, которую будет иметь капитал через не­сколько лет FV при использовании процедуры сложных процен­тов, используют формулу, отражающую процесс аккумулирования (компаундинга), наращения в соответствии с геометрической про­грессией: FV= PV(1+i) n

где FV- аккумулированная (будущая) сумма капитала;

PV - текущая стоимость (стоимость инвестиций в начальный пери­од);

i - ставка процента (например, i = 0,10, т.е. 10%);

n - количество периодов начисления.

Эта формула в финансово-экономических расчетах и опреде­ляет первую функцию сложного процента, а выражение (1+i) n называется множителем (коэффициентом) наращения или буду­щей стоимостью единицы аккумулированного капитала F 1: F 1 =(1+i) n

где F 1 рассчитывается или определяется по таблице сложных процентов.

Таким образом, процесс аккумулирования депонированно­го, или инвестированного, капитала есть процесс накопления денег по заданной ставке i в течение определенного периода времени п.

При более частом, чем один раз в год, аккумулировании фак­тически полученный доход в конце года включает начисленные в году проценты. В связи с этим различают годовую номиналь­ную и годовую фактическую (эффективную) процентные ставки.

Годовая фактическая ставка - это годовая ставка, учитыва­ющая начисленные сложные проценты. Расчет годовой факти­ческой ставки ведется как процентное отношение дохода к ка­питалу в конце года, к величине капитала в начале года; в прак­тике фактическую ставку называют эффективной.

Вторая функция сложного процента - это будущая стоимость п-периодного аннуитета. Рассмотрим серию равновеликих и рав­номерных платежей (вкладов) под процент на определенное ко­личество периодов, при том что в каждом периоде производятся вклады капиталов (РМТ) одной и той же величины (серия вкла­дов - аннуитет). Этот поток платежей и есть аннуитет.

Наращенная сумма ренты (n-периодного аннуитета) пред­ставляет собой сумму всех членов ренты с начисленными на них процентами к концу ее срока.

Аннуитет называется обычным, если платежи осуществляются в конце каждого периода (рента пост- нумерандо), и авансовым, если платежи осуществляются в нача­ле каждого периода (рента пренумерандо).

Наращенная сумма рен­ты n-периодного аннуитета будет равна:

где (1 + i) n – 1/f = F 2 - вторая функция сложного процента.

В финансовых расчетах последнее выражение также называ­ют фактором фонда накопления или будущей стоимостью п- периодного аннуитета с платежом в одну денежную единицу (см. таблицу сложных процентов Инвуда).

В отличие от обычного аннуитета при авансовом аннуитете (пренумерандо) первый платеж осуществляется в начале перво­го периода, т. е. он приносит доход в течение всех n-периодов. Каждый последующий платеж работает на один период меньше, чем предыдущий, наконец, последний платеж приносит доход в течение только одного периода. Как и в случае обычного анну­итета, будущие стоимости каждого платежа образуют геометри­ческую прогрессию со знаменателем (1 + i), а первый член этой прогрессии - РМT(1 + i). Используя формулу расчета суммы и членов геометрической прогрессии, получим:

В этом случае фактор фонда накопления F 2 (будущая сто­имость авансового аннуитета с платежом в одну денежную еди­ницу) будет равен:

Третья функция сложного процента(обратная второй) - фак­тор фонда возмещения капитала. Из второй функции имеем:

Где i/(1+i) n –1 = F 3 - фактор фонда возмещения, третья функция сложного

процента.

Коэффициент F 3 показывает денежную сумму, которую не­обходимо вносить в конце каждого периода для того, чтобы че­рез определенное число периодов остаток на счете составил одну денежную единицу; причем данный фактор учитывает получае­мый по взносам процент.

Можно сравнить фактор фонда накопления F 2 и фактор фонда возмещения F 3 Видно, что функция F 3 при фиксированных n и i есть величина, обратная фактору фонда накопления F 2 т.е.

Сравнивая фактор фонда накопления (будущую стоимость авансового аннуитета с платежом в одну единицу) и фактор аван­сового фонда возмещения, получим соотношение:

Четвертая функция сложного процента (обратная первой) - это текущая стоимость будущего денежного потока, т.е. текущая стоимость денег (инвестиций), PV определится из выражения:

Где 1/ (1+i) n = F 4 - четвертая функция сложного процента, текущая стоимость будущей единицы.

Сравнивая полученную формулу с фактором первой функции, видим:

Процесс пересчета будущей стоимости денежной суммы (по­тока денег); FV в настоящую называется дисконтированием, а ставка, по которой осуществляется дисконтирование, часто на­зывают ставкой дисконта.

C по­мощью функции F. можно ответить на два вопроса:

1. Сколько будет стоить сегодня сумма, которую получит ин­вестор через л-периодов?

2. За сколько нужно купить объект (сколько нужно вложить в объект), чтобы в результате будущей его продажи через n-пе­риодов обеспечить требуемую норму дохода на?

Пятая функция сложного процента - это текущая стоимость аннуитета. Как и предыдущая, данная функция связана с про­цессом дисконтирования. Пятая функция определяет текущую стоимость серии равномерных равновеликих поступлений де­нежных средств в течение n-периодов с учетом заданной суммы. Современная величина потока платежей PV - это сумма всех его членов (аннуитетов), уменьшенная (дисконтированная) на величину процентной ставки на конкретный момент времени. Текущая стоимость может быть обычного аннуитета или аван­сового n-периодного аннуитета

где PV - представляет собой сумму я членов геометрической прогрессии со знаменателем 1/1+i и первым членом PMT/1+c

Отсюда, пользуясь известной формулой суммы членов гео­метрической прогрессии, получим уравнение:

Где1 – (1+i) n / i= F 5 - пятая функция сложного процента, текущая стоимость " обычного аннуитета.

Авансовый аннуитет построен таким образом, что первый пла­теж РМТ 1 в потоке доходов производится немедленно, а последу­ющие платежи - через равные промежутки времени. Так как РМТ 1 производится в начальный момент времени, дисконтировать его не нужно. Последующий же я - 1 платеж и другие дисконтируют­ся с учетом того, что k-й платеж производится через k - 1 перио­дов от начального момента.

В данном случае сумма стоимости всех n-платежей - это

геометрическая прогрессия со знаменателем 1/1+i и первым чле­ном PMT.

Тогда текущая стоимость авансового аннуитета будет равна:

Если РМТ = 1, то получим выражение для фактора текущей стоимости авансового аннуитета F " 5:

Функции F 5 и F " 5 имеют особое значение в статистических расчетах, в оценке инвестиционных проектов, имущества, при­носящего доход.

Шестая функция сложного процента (обратная к 5-й) в прак­тике экономико-финансовых вычислений имеет название ипо­течная постоянная, или размер платежей для покрытия долга. По известной текущей стоимости (размеру кредита) определя­ется размер платежей:

Для PV = 1 получим значение взноса на амортизацию де­нежной единицы - это и есть шестая функция сложного про­цента - F 6 (ипотечная постоянная).

Для обычных взносов (рента постнумерандо) шестая функ­ция имеет вид:

Для авансовых взносов (рента пренумерандо) шестая функ­ция имеет вид:

Каждый равновеликий взнос РМТ включает сумму процент­ных денег I nt и уплату первоначальной суммы PRN - суммы основного долга: РМТ=PRN +I nt

Нужно подчеркнуть, что ипотечная постоянная функция F 6 связана с функцией F 3 следующим образом: F 6 =F 3 +i т.е. ипотечная постоянная - это взнос на амортизацию капита­ла, равный сумме фактора фонда возмещения F 3 и ставки про­цента на капитал i.

Равномерно-аннуитетный метод возврата основных средств (метод Инвуда). Платежи РМТ идут в конце периода равными долями с увели­чивающимися размерами PRN возврата основной суммы долга и с уменьшающимися начислениями процентов i - доходов.

Равномерно-прямолинейный метод (метод Ринга). Чистый операционный доход равномер­но снижается при постоянной норме возврата основного долга PRN, а доход I nt равномерно уменьшается. В отличие от метода Ринга метод Инвуда основан на том, что ипотечная постоянная равна сумме фактора фонда возмещения F 3 и ставки капитализации i.

Шестая функция сложного процента широко применяется в экономическом обосновании лизинговых операций.

Решение о том, стоит ли вкладывать капитал, стоит определять по доходу который можно будет с него получить инвестору в конечном итоге. Например, при приобретении облигаций инвестор намеревается регулярно в течение всего срока получать положенный ему в виде процентов доход. А по завершению получить всю сумму вместе с процентами.

Денежные вложения имеют смысл, только если прогнозируемый доход должен будет превысить сумму всех расходов потраченных в данный момент.

В данном случае доход от инвестиций, который можно спрогнозировать будет равен начисленным процентам, поскольку стоимость облигаций будет одинакова и при покупке и при продаже, однако отрицательные и положительные денежные потоки (выплаты, как основной суммы, так и процентов)по времени сходиться не будут, а значит, сопоставить их будет трудно.

Теория о том, что деньги все время меняются в своей стоимости, исходит из предположения, что они являются своего рода товаром, периодически изменяющимся в своей цене. Изменения стоимости денег или точней их покупательной способности постоянно изменяется по причине различных факторов, важнейшим из которых является инфляция.

Однако данный фактор можно преодолеет, если правильно вложить деньги. Для этого важно знать 6 функций сложного процента, за счет которых можно высчитать бедующую денежную стоимость.

Сложный процент представляет собой эффект появляющийся при капитализации и накоплении прибыли по вложениям. По этой причине процентные выплаты возрастают со скоростью пропорциональной сумме самой величины. Чтобы все точно рассчитатьважно, знать шесть функций сложного процента.

Логика достаточно проста:

• все финансовые средства, что находятся на депозите, обязаны приносить дополнительные проценты;
• процент начисляется только со средств, хранящихся на депозите.

Один из представителей рода Ротшильдов заявил, что 6 функций денег – это практически одно из чудес света. Если присмотреться к тому, как увеличиваются деньги у современных инвесторов грамотно применяющих данную функцию с ним нельзя не согласиться.

Говоря простым языком – это начисление процентов на последующие проценты. Доход за один инвестиционный период складывается с общей сумой изначально вложенного капитала. А в следующий период новая сумма прибавляется уже к этой. Прибавление дохода от процентов к основным вложениям носит название капитализации процентов.

Можно привести пример если банк начисляет 10% от сделанного вложения в тысячу рублей, то на конец года вклад уже станет 1100 рублей. В новом году эти 10% \будут уде высчитываться с 1100. А это значит, что в конце года вклад станет не 1200 рублей, а 1210.

Естественно это не лучший пример ведь при данном раскладе, чтобы оценить всю прелесть данного финансового инструмента потребуются годы. Однако при грамотном использовании можно получать с этого серьезные дивиденды. Ниже будут представлены функции сложного процента их характеристика , чтобы было понятней, о чем идет речь.

Часто людям приходится решать финансовые задачи, связанные с формированием потока средств по определенным параметрам, по стоимости.

Для облегчения расчетов, возможности работать по шаблону, используются функции сложного процента . Они нужны для отображения изменения цены денежной единицы за какой-либо временной промежуток.

Эта функция необходима для определения размера цены единицы денег через какой-либо отрезок времени при использовании сложного процента. Для этого нужна формула:

Пояснения:

• S – будущая стоимости средств;
• N – какое-либо число периодов;
• i – единица сложного процента;
• Р – первоначальная сумма.

Пример вычисления: человек взял заем в банке на 1 000 000 рублей. Оп получил средства на срок до 5 лет под 15% в год с начислением ставки один раз в 6 месяцев. Задача вычислить объем денег, которые нужно вернуть банку.

Решение задачи:

1. Первое действие – нужно определить число периодов (необходимо количество полугодовых отрезков в году умножить на суммарное количество лет).

1. Далее нужно определить размер полугодовалой процентной комиссии по этому вкладу.

i = 15/100/2=0,075% (в формуле 15 – это назначенная банков ставка, а 2 – это число периодов в которые начисляется процент).

1. В последнем действии все полученные элементы подставляются в главную формулу.

1 000 000 * (1+0,075)6 = 1543301.54

Он нужен для вычисления параметра, на который вырос сберегательный счет вкладчика, предполагающий взносы со стороны счета держателя. На него по истечению определенного отрезка начисляется процентная ставка.

Пояснения:

• М – сумма регулярного взноса;
• другие обозначения описаны выше.

Пример задачи: нужно вычислить показатель будущей цены регулярных платежей на общую сумму в 3 тысячи рублей в течение пяти лет при ежемесячной ставке в 15% и постоянном накоплении.

Решение задачи:

1. Шаг первый – нужно выяснить количество периодов (число месяцев в году нужно умножить на суммарное количество лет, действительных для кредитования).

1. Далее нужно найти параметр ежемесячной процентной ставки по определенному счету.

i =15/100/12=0.0125 (в примере 15 – это регулярная процентная ставка, а 12 – это число отрезков с прибавлением в году).

1. Последний этап – подстановка найденных переменных в формулу для получения ответа.

S = 3 000 * = 1691.83146

Фактор фонда возмещения формула отражает размер начисление, которое нужно регулярно класть на счет, чтобы за определенный отрезок времени накопить нужную сумму.

Пример задачи: Вычислить взнос в банк при ставке 15% для покупки жилья ценой в 1 000 000 рублей через шесть лет.

Вычисление производится по аналогичной схеме. Рассчитываются переменные и подставляются в формулу.

Четвертая функция сложного процента называется настоящей ценойфинансовой единицы. Именно этот метод применяется для использования определения будущей точной стоимости периодических платежей. Как следствие, результатом использования данной функции является именно точное определение цены равновеликих поступлений.

Вот точная формула, которая наглядно доказывает и показывает точную ставку полученной суммы в будущем.

Убедиться в работе данной формулы можно на простом примере. Такие ситуации сегодня довольно распространены.

Например, необходимо сейчас благодаря функции сложных процентов узнать точную текущую цену двадцати тысяч рублей (текущая стоимость единицы 20 000,00 рублей).

Именно они будут вычислены по прошествии четырех лет. Причем ставка по процентам будет установлена в пятнадцать процентов годовых. Причем процент будет начисляться в годовых промежутках. Говоря простыми словами, сколько будут стоить эти деньги через четыре года при 15 процентах начисляемых в годовом промежутке.

В количестве периодов устанавливаем цифру 4, на месте n. После высчитываем процентную ставку, делается это так i = 15: 100 = 0,15. Для определений конечного результата применяется основная формула четвертой функции

Пятой функцией процента называетсянастоящая стоимость аннуитета. То есть благодаря ей можно узнать точную цифру потока платежей в плавном движении.

Поступления средств, по сути, происходят дважды. Первое поступление денежных средств осуществляется в конце в конце первого периода. По окончании каждого их следующих периодов осуществляются последующие денежные поступления. Основная формула, которая применяется при пятой функции сложного процента следующая.

Основным примером может служить следующая задача. Существует определенный кредит. Ежеквартально без перерывов для его погашения вносится по тридцать пять тысяч рублей (35 000,00 рублей). Выплаты должны происходить в течение шести (6-ти) лет, ставка для него установлена 16%.

Благодаря основной формуле текущей стоимости аннуитета решить задачу можно очень легко.

Под определением n понимается количество кварталов, поэтому n = 6*4 = 24. После необходимо вычислить квартальную процентную ставку, ее мы устанавливаем под определение i, поэтому i = 16: 100: 4 = 0,04. Основная формула с подгоном всех вышеуказанных значений и подсчитанных цифр следующая

Шестая формула сложного процента указывает на размер равновеликого платежа, который поступает с непрерывной периодичностью. Ее применяют, когда происходит взнос на амортизацию денежной единицы .

Имеется в виду только тот кредит, по которому выплачивается определенный процент.

Выше представлена основная формула, которая наглядно доказывает цифру равновеликого платежа, который проходит периодически, когда происходит взнос на амортизацию единицы.

Сложные проценты применяют в тех случаях, когда процент по кредитам (ссудам) выплачивают не сразу, а его присоединя­ют к сумме долга с последующим определением наращенной суммы FV. Такая процедура начисления «процент на процент» называется капитализацией. Наращение идет по сложному про­центу в геометрической прогрессии, а процесс компаудинга (на­копления) описывается уравнением FV= PV(1+i) n

В свя­зи с этим для расчета процентной суммы используется следую­щая формула:

где i - годовая ставка;

n - количество периодов начисления;

m - число периодов начисления;

n*m - общее число периода начисления.

Когда интервалы между очередными платежами постоянны, то такую последовательность называют финансовой рентой или аннуитетом. Аннуитет (серия равновеликих платежей в течение n-периодов) называется обычным, если платежи осуществляются в конце каждого периода, и авансовым, если платежи осуществ­ляются в начале каждого периода.

Первая функция сложного процента - аккумулированная сум­ма капитала. Мы уже убедились, что в отличие от простого про­цента сложный предполагает, что доход приносит не только пер­воначальная сумма, но и полученный ранее процент на нее. Для определения стоимости, которую будет иметь капитал через не­сколько лет FV при использовании процедуры сложных процен­тов, используют формулу, отражающую процесс аккумулирования (компаундинга), наращения в соответствии с геометрической про­грессией: FV= PV(1+i) n

где FV- аккумулированная (будущая) сумма капитала;

PV - текущая стоимость (стоимость инвестиций в начальный пери­од);

i - ставка процента (например, i = 0,10, т.е. 10%);

n - количество периодов начисления.

Эта формула в финансово-экономических расчетах и опреде­ляет первую функцию сложного процента, а выражение (1+i) n называется множителем (коэффициентом) наращения или буду­щей стоимостью единицы аккумулированного капитала F 1: F 1 =(1+i) n

где F 1 рассчитывается или определяется по таблице сложных процентов.

Таким образом, процесс аккумулирования депонированно­го, или инвестированного, капитала есть процесс накопления денег по заданной ставке i в течение определенного периода времени п.

При более частом, чем один раз в год, аккумулировании фак­тически полученный доход в конце года включает начисленные в году проценты. В связи с этим различают годовую номиналь­ную и годовую фактическую (эффективную) процентные ставки.

Годовая фактическая ставка - это годовая ставка, учитыва­ющая начисленные сложные проценты. Расчет годовой факти­ческой ставки ведется как процентное отношение дохода к ка­питалу в конце года, к величине капитала в начале года; в прак­тике фактическую ставку называют эффективной.

Вторая функция сложного процента - это будущая стоимость п-периодного аннуитета. Рассмотрим серию равновеликих и рав­номерных платежей (вкладов) под процент на определенное ко­личество периодов, при том что в каждом периоде производятся вклады капиталов (РМТ) одной и той же величины (серия вкла­дов - аннуитет). Этот поток платежей и есть аннуитет.

Наращенная сумма ренты (n-периодного аннуитета) пред­ставляет собой сумму всех членов ренты с начисленными на них процентами к концу ее срока.

Аннуитет называется обычным, если платежи осуществляются в конце каждого периода (рента пост- нумерандо), и авансовым, если платежи осуществляются в нача­ле каждого периода (рента пренумерандо).

Наращенная сумма рен­ты n-периодного аннуитета будет равна:

где (1 + i) n – 1/f = F 2 - вторая функция сложного процента.

В финансовых расчетах последнее выражение также называ­ют фактором фонда накопления или будущей стоимостью п- периодного аннуитета с платежом в одну денежную единицу (см. таблицу сложных процентов Инвуда).

В отличие от обычного аннуитета при авансовом аннуитете (пренумерандо) первый платеж осуществляется в начале перво­го периода, т. е. он приносит доход в течение всех n-периодов. Каждый последующий платеж работает на один период меньше, чем предыдущий, наконец, последний платеж приносит доход в течение только одного периода. Как и в случае обычного анну­итета, будущие стоимости каждого платежа образуют геометри­ческую прогрессию со знаменателем (1 + i), а первый член этой прогрессии - РМT(1 + i). Используя формулу расчета суммы и членов геометрической прогрессии, получим:

В этом случае фактор фонда накопления F 2 (будущая сто­имость авансового аннуитета с платежом в одну денежную еди­ницу) будет равен:

Третья функция сложного процента(обратная второй) - фак­тор фонда возмещения капитала. Из второй функции имеем:

Где i/(1+i) n –1 = F 3 - фактор фонда возмещения, третья функция сложного

процента.

Коэффициент F 3 показывает денежную сумму, которую не­обходимо вносить в конце каждого периода для того, чтобы че­рез определенное число периодов остаток на счете составил одну денежную единицу; причем данный фактор учитывает получае­мый по взносам процент.

Можно сравнить фактор фонда накопления F 2 и фактор фонда возмещения F 3 Видно, что функция F 3 при фиксированных n и i есть величина, обратная фактору фонда накопления F 2 т.е.

Сравнивая фактор фонда накопления (будущую стоимость авансового аннуитета с платежом в одну единицу) и фактор аван­сового фонда возмещения, получим соотношение:

Четвертая функция сложного процента (обратная первой) - это текущая стоимость будущего денежного потока, т.е. текущая стоимость денег (инвестиций), PV определится из выражения:

Где 1/ (1+i) n = F 4 - четвертая функция сложного процента, текущая стоимость будущей единицы.

Сравнивая полученную формулу с фактором первой функции, видим:

Процесс пересчета будущей стоимости денежной суммы (по­тока денег); FV в настоящую называется дисконтированием, а ставка, по которой осуществляется дисконтирование, часто на­зывают ставкой дисконта.

C по­мощью функции F. можно ответить на два вопроса:

1. Сколько будет стоить сегодня сумма, которую получит ин­вестор через л-периодов?

2. За сколько нужно купить объект (сколько нужно вложить в объект), чтобы в результате будущей его продажи через n-пе­риодов обеспечить требуемую норму дохода на?

Пятая функция сложного процента - это текущая стоимость аннуитета. Как и предыдущая, данная функция связана с про­цессом дисконтирования. Пятая функция определяет текущую стоимость серии равномерных равновеликих поступлений де­нежных средств в течение n-периодов с учетом заданной суммы. Современная величина потока платежей PV - это сумма всех его членов (аннуитетов), уменьшенная (дисконтированная) на величину процентной ставки на конкретный момент времени. Текущая стоимость может быть обычного аннуитета или аван­сового n-периодного аннуитета

где PV - представляет собой сумму я членов геометрической прогрессии со знаменателем 1/1+i и первым членом PMT/1+c

Отсюда, пользуясь известной формулой суммы членов гео­метрической прогрессии, получим уравнение:

Где1 – (1+i) n / i= F 5 - пятая функция сложного процента, текущая стоимость " обычного аннуитета.

Авансовый аннуитет построен таким образом, что первый пла­теж РМТ 1 в потоке доходов производится немедленно, а последу­ющие платежи - через равные промежутки времени. Так как РМТ 1 производится в начальный момент времени, дисконтировать его не нужно. Последующий же я - 1 платеж и другие дисконтируют­ся с учетом того, что k-й платеж производится через k - 1 перио­дов от начального момента.

В данном случае сумма стоимости всех n-платежей - это

геометрическая прогрессия со знаменателем 1/1+i и первым чле­ном PMT.

Тогда текущая стоимость авансового аннуитета будет равна:

Если РМТ = 1, то получим выражение для фактора текущей стоимости авансового аннуитета F " 5:

Функции F 5 и F " 5 имеют особое значение в статистических расчетах, в оценке инвестиционных проектов, имущества, при­носящего доход.

Шестая функция сложного процента (обратная к 5-й) в прак­тике экономико-финансовых вычислений имеет название ипо­течная постоянная, или размер платежей для покрытия долга. По известной текущей стоимости (размеру кредита) определя­ется размер платежей:

Для PV = 1 получим значение взноса на амортизацию де­нежной единицы - это и есть шестая функция сложного про­цента - F 6 (ипотечная постоянная).

Для обычных взносов (рента постнумерандо) шестая функ­ция имеет вид:

Для авансовых взносов (рента пренумерандо) шестая функ­ция имеет вид:

Каждый равновеликий взнос РМТ включает сумму процент­ных денег I nt и уплату первоначальной суммы PRN - суммы основного долга: РМТ=PRN +I nt

Нужно подчеркнуть, что ипотечная постоянная функция F 6 связана с функцией F 3 следующим образом: F 6 =F 3 +i т.е. ипотечная постоянная - это взнос на амортизацию капита­ла, равный сумме фактора фонда возмещения F 3 и ставки про­цента на капитал i.

Равномерно-аннуитетный метод возврата основных средств (метод Инвуда). Платежи РМТ идут в конце периода равными долями с увели­чивающимися размерами PRN возврата основной суммы долга и с уменьшающимися начислениями процентов i - доходов.

Равномерно-прямолинейный метод (метод Ринга). Чистый операционный доход равномер­но снижается при постоянной норме возврата основного долга PRN, а доход I nt равномерно уменьшается. В отличие от метода Ринга метод Инвуда основан на том, что ипотечная постоянная равна сумме фактора фонда возмещения F 3 и ставки капитализации i.

Шестая функция сложного процента широко применяется в экономическом обосновании лизинговых операций.

Вопрос 2. Шесть функций сложного процента.

Существуют две схемы начисления процентов.

Вопрос 1. Основные понятия и операции финансовой математики.

Известно, что в условиях инфляции куда более очевидно, что деньги изменяют свою стоимость с течением времени. По этой причине, для финансовой математики главным является, что деньги завтра - ϶ᴛᴏ деньги не сегодня. Под действием инфляции и дохода на капитал.

PV(P) – настоящая или текущая стоимость денежной единицы;

FV(S) – будущая стоимость денежной единицы;

n – число периодов (лет) на которые отстоит некоторый момент в будущем от момента сейчас;

i - ставка дохода;

PMT (R) - ϶ᴛᴏ единичный равновеликий, равнопериодичный платеж (поступление).(обычный аннуитет). Следует разобрать понятие аннуитет более подробно. Общий термин для понятия аннуитет - денежный поток (cash flow). (Киядзаки)

Выделяют:

I. Обычный аннуитет - ϶ᴛᴏ денежный поток или его вид обладающий тремя характеристиками:

1. Все элементы равновелики.

2. Поступают через равные промежутки.

3. Элементы CF поступают в конце каждого периода (нет в авансовом аннуитете).

II. Авансовый аннуитет - это аннуитет, платежи по которому реализуются в начале каждого периода.

Как же это связать с оценкой: Итак, для определœения стоимости собственности, приносящей доход, крайне важно определить текущую стоимость денег, которые будут получены через какое-то время в будущем.

Основными операциями, позволяющими сопоставить разновременные деньги, являются операции накопления (наращивания) и дисконтирования.

Накопление - ϶ᴛᴏ финансовая операция по приведению стоимости денег в настоящий момент времени к стоимости денег в какой-то момент в будущем.

Дисконтирование - ϶ᴛᴏ финансовая операция по приведению стоимости денег в некоторый момент времени в будущем к стоимости денег в настоящий момент времени.

Основное свойство этих операций: Оба являются абсолютно взаимообратными финансовыми операциями.

1. Простые проценты.

FV n =PV(1+ni )

PV=1000р. i -10% FV1=1100 FV2=1200 FV3=1300

2. Сложные проценты.

FV n =PV(1+i ) n

PV=1000р. i -10% FV1=1100 FV2=1210 FV3=1331

Пример: Вы положили на счёт 100 р под 20% в год, на 17 лет. Какая сумма будет на счете в конце периода.

FV n =PV(1+i ) n = 100(1+0,2) 17 =2218,61

Всего рассматривают шесть функций денежной единицы, основанных на сложном проценте. Для упрощения расчетов разработаны таблицы шести функций для известных ставок дохода и периода накопления (i и n).

Таблица 1.1. Структура таблиц шести функций денег
№ колонки	Колонка 1	Колонка 2	Колонка 3	Колонка 4	Колонка 5	Колонка 6
Функция денег	Будущая стоимость единицы	Накопление единицы за период	Фактор фонда возмещения	Текущая стоимость единицы	Текущая стоимость аннуитета	Взнос на амортизацию единицы
Формула
Задано:	PV, i, n	PMT, i, n	FV, i, n	FV, i, n	PMT, i, n	PV, i, n
Определить	FV	FV	PMT	PV	PV	PMT
Тип решаемых задач	Будущая стоимость текущей денежной суммы	Какой будет стоимость платежей к концу периода	Норма погашения основной части кредита (of)	Текущая стоимость денежной суммы, которая будет получена в будущем	Текущая стоимость денежных платежей	Регулярный периодический платеж по кредиту, включающий в проценты и выплату кредита (on + of)

Ежегодное и ежемесячное начисление процентов.

Функция 1 : используется в том случае, когда известна текущая стоимость денег и крайне важно определить будущую стоимость денежной единицы при известной ставке доходов на конец определœенного периода (n).

Правило ʼʼ72-хʼʼ: Для примерного определœения срока удвоения капитала (в годах) крайне важно 72 разделить на целочисленное значение годовой ставки дохода на капитал. Правило действует для ставок от 3 до 18%.

Пример 2.1: Определить, какая сумма будет накоплена на счете к концу 3-го года, в случае если сегодня положить на счет, приносящий 10% годовых, 10 000 рублей.

FV = 10000 [ (1+0,1) 3 ] = 13310

Функция 2: Накопление денежной единицы за период. В результате использования данной функции определяется будущая стоимость серии равновеликих периодических платежей (поступлений).

Пример 2.2: Определить сумму, которая будет накоплена на счете, приносящем 12% годовых, к концу 5-го года, в случае если ежегодно откладывать на счёт 10 000 рублей.

10000 кол№2

Функция 3: Фактор фонда возмещения. Данная функция обратна функции накопления единицы за период. Фактор фонда возмещения показывает аннуитетный платеж, который крайне важно депонировать под заданный процент в конце каждого периода для того, чтобы через заданное число периодов получить искомую сумму.

Функция 4: Текущая стоимость единицы (дисконтирование).

Функция 5: Текущая стоимость аннуитета.

Пример 2.3: Объект приносит по 1000$ каждый год в течении 15 лет. Определить рыночную стоимость (аренды ) объекта͵ если среднерыночная ставка доходности 10% годовых.

Функция 6: Взнос за амортизацию единицы. Функция является обратной величиной текущей стоимости аннуитета.

Другие примеры:

Пример 2.4 : Дополнение к задаче 2.3: Определить инвестиционную стоимость (аренды ) объекта и определить будет ли инвестор Семенов покупать данный объект. Доходность на инвестиции фонда Инвестора Семенова 14%.

PV = 1000 кол№5 = 1000*7,60608=7606,08$

Ответ: нет.

Количество участников конкурса "Лучший частный инвестор 2009" превысило 930 трейдеров. Рекорд доходность 6468,9% или 2,3 миллиона рублей с момента старта соревнования.

Пример 2.5: Вы взяли кредит 1000$ на 3 года под 10% годовых. а) какова величина ежегодного погасительного платежа. б) какова структура каждого платежа. в) какова структура выплат в целом за 3 года.

а) PMT = 1000 кол№6 = 1000*0,4021148=402,11$

Из 402: 102 - ϶ᴛᴏ выплаты процентов (on).

302 – норма возврата капитала (of).

В конце года осталось 698$ от тела кредита:

в) 206/1000=0,206 ᴛ.ᴇ. 20,6% ∑of=1000 ∑on=206

Вопрос 2. Шесть функций сложного процента. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Вопрос 2. Шесть функций сложного процента." 2017, 2018.

Шесть функций сложного процента могут быть использованы при проведении оценки объектов недвижимости. Накопленная сумма единицы позволяет ответить на вопрос: "За сколько можно продать собственность исходя из ее нынешней рыночной стоимости и ожидаемого роста последней по сложному проценту?" Накопление единицы за период показывает, как будут расти регулярные депозиты при сложном проценте. Фактор фонда возмещения показывает, какую сумму необходимо периодически депонировать для того, чтобы через определенное число периодов при сложном проценте накопить 1 долл. Он показывает, какой должна быть ежегодная норма, необходимая для возмещения инвестиций в данный актив.

Текущая стоимость единицы показывает нынешнюю стоимость денежной суммы, которая должна быть единовременно получена в будущем, например от ожидаемой продажи земли. Фактор аннуитета показывает стоимость потока денежных средств, например доходов, получаемых от сдаваемой в аренду собственности, или платежей по ипотечному кредиту. Фактор взноса на амортизацию единицы позволяет определить размер периодического платежа, необходимого для амортизации кредита, включая процент и выплаты основной суммы долга.

В основу каждой из шести функций положен сложный процент, который означает, что вся основная сумма, находящаяся на депозитном счете, должна приносить процент, включая процент, оставшийся на счете с предыдущих периодов. Более того, процент выплачивается только на денежные средства на депозитном счете, но не на снятые с него проценты или основную сумму вклада.

Шесть функций сложного процента могут быть использованы для решения почти всех арифметических задач, связанных с оценкой приносящих доход объектов недвижимости.

Деньги имеют временную стоимость, т.е. рубль, полученный сегодня, стоит дороже, чем рубль, полученный завтра. И не только потому, что инфляция способна снизить его покупательную способность, но и потому, что рубль, инвестированный сегодня, завтра принесет конкретную прибыль. Временная стоимость денег - важный аспект при принятии решений в финансовой практике вообще и при оценке инвестиций в частности.

Вычисление на основе сложного (кумулятивного) процента означает, что начисленные на первоначальную сумму проценты к ней присоединяются, а начисление процентов в последующих периодах производится на уже наращенную сумму. Процесс наращения капитала в этом случае происходит с ускорением. Он описывается геометрической прогрессией. Механизм наращения первоначальной суммы (капитала) по сложным процентам называют капитализацией. В финансовых и экономических терминах капитализация определяется как ставка дохода на вложенный капитал. При оценке-недвижимости и инвестиций данный термин приобретает несколько иное значение.

Различают годовую капитализацию (процентный платеж начисляется и присоединяется к ранее наращенной сумме в конце года), полугодовую, квартальную, месячную и ежедневную. Существует также понятие непрерывного начисления процентов, которое по своему смыслу весьма близко к ежедневному начислению.

Расчет наращенной суммы по сложным процентам производится по формуле:

денежный платеж рента задолженность

где S - наращенная сумма;

Р - первоначальная сумма, на которую начисляются проценты;

i - ставка сложных процентов, выраженная десятичной дробью;

п - число лет, в течение которых начисляются проценты.

Величина называется множителем наращения сложных процентов. Она показывает, на сколько увеличится одна денежная единица при наращении на нее процентов по ставке i в течение п лет.

Однако в большинстве случаев указывается не квартальная или месячная ставка, а годовая ставка, которая называется номинальной. Кроме того, указывается число периодов (т) начисления процентов в году. Тогда для расчета наращенной суммы используется формула:

где i - номинальная годовая процентная ставка;

т - число периодов начисления процентов в году;

п - число лет;

тп - число периодов начисления процентов за весь срок контракта.

По формулам (3.1) и (3.2) мы осуществляли дискретное наращение процентов, т.е. проценты начислялись раз в год, квартал или месяц. Непрерывное начисление процентов предполагает, что проценты начисляются за возможно наиболее короткий период времени. Хотя имеется в виду, что этот период будет бесконечно коротким, наиболее точным приближением непрерывного начисления процентов является ежедневное начисление. При этом для определения наращенной суммы можно использовать формулу (3.2). Так, при годовой ставке 10% и продолжительности года в 360 дней (подобная продолжительность года принята в банковских расчетах в ряде стран) при ежедневном начислении процентов.

Термин «дисконтирование» употребляется в финансовой практике очень широко. Под ним может пониматься способ нахождения величины Р на некоторый момент времени при условии, что в будущем при начислении на нее процентов она могла бы составить наращенную сумму S. Величину Р, найденную дисконтированием наращенной величины S, называют современной, текущей или приведенной величиной. С помощью дисконтирования в финансовых вычислениях учитывается фактор времени. Текущая стоимость - это величина, обратная наращенной стоимости, т.е. дисконтирование и ставка дисконта противоположны понятиям «накопление» и «ставка процента». Например, если вы через год должны получить по своему банковскому вкладу 1100 руб., а банк производил начисление из расчета 10% годовых, то текущая стоимость вашего вклада составляет 1 тыс. руб.

Так как текущая стоимость является обратной величиной наращенной суммы, то она определяется по формуле:

где - дисконтный множитель. Он показывает текущую стоимость одной денежной единицы, которая должна быть получена в будущем.

При начислении процентов т раз в году расчет текущей стоимости производится по формуле:

где - дисконтный множитель.

Рассматривая современную величину, необходимо обратить внимание на два ее свойства. Одно из них заключается в том, что величина процентной ставки, по которой производится дисконтирование, и современная величина находятся в обратной зависимости, т.е. чем выше процентная ставка, тем меньше современная величина при прочих равных условиях.

Также в обратной зависимости находятся современная величина и срок платежа. С увеличением срока платежа (п) современная величина будет становиться все меньше. Предел значений современной величины (Р) при сроке платежа (п), стремящемся к бесконечности, составит:

При очень больших сроках платежа его современная величина будет крайне незначительной. Так, например, если кто-то решит завещать своим потомкам получить через 100 лет сумму в 50 млн. руб., то для этого ему достаточно положить под 8% годовых 22,72 тыс. руб.

С ростом величины т (число периодов начисления процентов) дисконтный множитель уменьшается, а следовательно, снижается и текущая величина Р.

Между тем оплата по заключенным сделкам может предусматривать как разовый платеж, так и ряд выплат, распределенных во времени. Выплата арендной платы, выплаты за приобретенное имущество в рассрочку, инвестирование средств в различные программы и т.п. в большинстве случае предусматривают платежи, производимые через определенные промежутки времени, т.е. образуется поток платежей.

Ряд последовательных фиксированных платежей, производимых через равные промежутки времени, называются финансовой рентой, или аннуитетом.

По моменту выплат членов ренты последние подразделяются на обычные (постнумерандо), в которых платежи производятся в конце соответствующих периодов (года, полугодия и т.д.), и пренумерандо, в которых платежи осуществляются в начале этих периодов. Встречаются также ренты, в которых предусматривается поступление платежей в середине периода.

Обобщающими показателями ренты являются: наращенная сумма и современная (текущая, приведенная) величина.

Наращенная сумма - это сумма всех членов потока платежей с начисленными на них процентами на конец срока, т.е. на дату последней выплаты. Наращенная сумма показывает, какую величину будет представлять капитал, вносимый через равные промежутки времени в течение всего срока ренты вместе с начисленными процентами.

Современная величина потока платежей - это сумма всех его членов, уменьшенная (дисконтированная) на величину процентной ставки на определенный момент времени, совпадающий с началом потока платежей или предшествующий ему.

Величина является коэффициентом наращения ренты, который называют также коэффициентом накопления денежной единицы за период.

Ранее указывалось, что некоторые ренты реализуются сразу же после заключения контракта, т.е. первый платеж производится немедленно, а последующие платежи производятся через равные интервалы. Такие ренты (пренумерандо) также называются авансовыми, или причитающимися аннуитетами. Сумма членов такой ренты вычисляется по формуле:

То есть сумма членов ренты пренумерандо больше наращенной суммы ренты постнумерандо в раз, поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо равна:

где S - наращенная сумма постнумерандо.

В случаях когда платежи производятся в середине периодов, вычисление наращенной суммы производится по формуле:

где S 0 - наращенная сумма платежей, выплачиваемых в конце каждого периода (рента постнумерандо).

Современная величина ренты (ее также называют текущей, или приведенной величиной) является суммой всех членов ренты, дисконтированных на момент приведения по выбранной дисконтной ставке. Для ренты с членами, равными R, современная величина рассчитывается по формуле:

где А - коэффициент приведения ренты, показывающий сколько рентных платежей (R) содержится в современной величине;

i - годовая процентная ставка, по которой производится дисконтирование;

п - срок рентных платежей.

Данный показатель также называется текущей стоимостью обычного аннуитета, или текущей стоимостью будущих платежей. Коэффициенты приведения ренты - табулированы.

Расходы, связанные с погашением долга, т.е. погашение суммы самого долга (амортизация долга), и выплатой процентов по нему, называются расходами по обслуживанию долга.

Существуют различные способы погашения задолженности. Участники сделки оговаривают их при заключении контракта. В соответствии с условиями контракта составляется план погашения задолженности.

Одним из важнейших элементов плана является определение числа выплат в течение года, т.е. уточнение числа так называемых срочных уплат и их величины.

Срочные уплаты рассматриваются как средства, предназначенные для погашения как основного долга, так и текущих процентных платежей по нему. При этом средства, направленные на погашение (амортизацию) основного долга, могут быть равными или изменяющимися по каким-либо закономерностям, а проценты могут выплачиваться отдельно.

Погашение долга может производиться аннуитетами, т.е. платежами, вносимыми через равные промежутки времени и содержащими как выплату основного долга, так и процентный платеж по нему. Величина аннуитета может быть постоянной, а может изменяться в арифметической или геометрической прогрессии.

Ниже рассмотрим случай, когда план составлен таким образом, чтобы погашение кредита производилось в конце каждого расчетного периода равными срочными уплатами, включающими выплату основной суммы долга и процентов по нему и позволяющими полностью погасить кредит в течение установленного срока. Каждая срочная уплата (Y) будет являться суммой двух величин: годового расхода по погашению основного долга (R) и процентного платежа по нему (I), т.е.

Расчет срочной годовой уплаты производится по формуле:

где i - процентная ставка;

п - срок кредита;

D - величина долга.

Величина называется коэффициентом погашения задолженности, или взносом на амортизацию денежной единицы. Его можно также представить как обратную величину текущей стоимости аннуитета, т.е. .

На практике может потребоваться знание величины остатка невыплаченного основного долга на какой-либо период. Эта величина рассчитывается по формуле:

где k - номер расчетного периода, в котором произведена последняя срочная уплата.

Покупка недвижимости в большинстве случаев сопряжена с получением кредита. В связи с этим необходимо заранее знать, какую сумму потребуется депонировать в каждый платежный период, чтобы обеспечить погашение основной суммы долга (без учета процентных выплат) в установленный срок.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой:

где R 1 - расход по погашению основного долга в первом платежном периоде;

D - сумма основного долга;

п - срок кредита;

i - процентная ставка.

Величина называется фактором фонда возмещения. Она показывает, какую сумму потребуется депонировать в конце каждого платежного периода, чтобы через заданное число периодов сумма основного кредита была полностью погашена.

Для расчета суммы, идущей на погашение основного долга в любом периоде, необходимо перемножить фактор фонда возмещения и множитель наращения сложных процентов для данного периода, т.е.

где k - число периодов, за которые произведено погашение основного долга.

Нами были рассмотрены функции сложного процента с использованием основной формулы, описывающей накопленную сумму единицы. Все рассмотренные формулы (факторы) являются производными от основной формулы. Каждая из них предусматривает, что проценты приносят деньги, находящиеся на депозитном счете, причем только до тех пор, пока они остаются на этом счете. Каждая из формул учитывает эффект сложного процента, т.е. такого процента, который, будучи полученным, переводится в основную сумму.

Все перечисленные формулы сведены в таблицу, что несколько облегчает ведение финансовых расчетов. Таблица имеет наименование: «Таблицы сложных процентов. 6 функций сложного процента». Величины, входящие в таблицу, находятся между собой в определенной связи. Ниже в табл. приводится эта связь.