Анализ вариации в рядах распределения целесообразно дополнить показателями дифференциации.
Для оценки дифференциации значений признака ряда используются децильный коэффициент дифференциации и коэффициент фондов.
Децильный коэффициент равен отношению девятой децили к первой децили. Децильный коэффициент широко применяют при измерении соотношения уровней дохода 10% наиболее обеспеченного и 10% наименее обеспеченного населения (в разах).
Коэффициент фондов равен отношению среднего уровня 10-й децили к среднему уровню 1-й децили. Он дает более точный уровень дифференциации.
Государственная статистика регулярно публикует коэффициент фондов для характеристики дифференциации доходов. Однако в исследовательской работе чаще используется децильный коэффициент дифференциации. Его применение особенно эффективно в случае, если, например, в распределении доходов в начале первого дециля присутствуют крайне низкие доходы, а десятый дециль завершается аномально высокими доходами, которые существенно влияют на сумму доходов в этих децилях. В такой ситуации правильнее применять децильный коэффициент дифференциации, а не коэффициент фондов.
К показателям дифференциации близки по значению показатели концентрации: коэффициент Джини и коэффициент Герфиндаля.
Коэффициент концентрации Джини рассчитывается по формуле:
, (6.27)
где p i – накопленная доля (частость) численности единиц ряда
q i – накопленная доля значений признака, приходящаяся на все единицы ряда со значеними признака не более x i .
Коэффициент Джини может принимать значения от 0 до 1, поэтому результат следует разделить либо на 100, если p i или q i выражен в процентах, либо на 10000, если оба показателя выражены в процентах. Чем больше концентрация признака, тем ближе коэффициент Джини к 1. Коэффициент Джини используют для характеристики степени неравномерности распределения совокупности (например, населения) по уровню признака (например, доходов).
Коэффициент Герфиндаля вычисляется на основе данных о доле изучаемого признака в i -той группе в совокупном объеме признака:
или 
(6.28)
где - доля выручки i -той группы в общем объеме всех значений признака;
Объём значений признака в i- тойгруппе.
Показатель Н зависит от числа единиц в группах.
Пример 6.6. Имеются данные о полученной балансовой прибыли 50 крупнейших банков России (по состоянию на 01.01.1998 г.),(в млн. руб.)
| - | 974,2 | - | 188,8 | - | 143,9 | - | 85,4 | - | 69,3 | |||||
| - | 609,2 | - | 187,3 | - | 134,6 | - | 84,5 | - | 66,4 | |||||
| - | 588,3 | - | 186,8 | - | 120,9 | - | 82,4 | - | 66,2 | |||||
| - | 562,9 | - | 171,1 | - | 112,2 | - | 79,6 | - | 59,7 | |||||
| - | 436,3 | - | 167,9 | - | 108,5 | - | 74,3 | - | 59,1 | |||||
| - | 432,5 | - | 164,3 | - | 101,6 | - | 74,0 | - | 58,3 | |||||
| - | 283,6 | - | 160,3 | - | 101,3 | - | 73,5 | - | 57,4 | |||||
| - | 265,8 | - | 159,9 | - | 97,4 | - | 73,2 | - | 53,8 | |||||
| - | 231,5 | - | 157,5 | - | 97,4 | - | 73,0 | - | 51,4 | |||||
| - | 211,7 | - | 147,6 | - | 92,0 | - | 71,5 | - | 51,2 |
Величина балансовой прибыли Сбербанка России на 01.07.97 - 4353,283 млн. руб.
1. Постройте вариационный ряд, образовав 7-8 интервалов произвольно.
2. Рассчитайте средний размер балансовой прибыли на один банк на основе средней арифметической, моды и медианы.
3. Рассчитайте показатели вариации.
4. Измерьте дифференциацию банков на основе децильного коэффициента и коэффициента фондов.
5. Рассчитайте коэффициент концентрации Джини и Герфиндаля.
Решение:
1. Распределение 50 банков РФ по размеру балансовой прибыли (БП) на 01.01.1998 г.
| БП, млн. руб. x k -1 -x k | Коли-чество банков | Сере-дина интер- вала x i | x i f i | На-копл. час-тоты V i , % | На-копл. час-тос- ти p i | Доля БП групп банков в общем объеме БП | ||||
| f i | в % к ито- гу | на- раст. ито- гом, q i | ||||||||
| А | ||||||||||
| 50-60 | 0,042 | 0,042 | 0,02 | |||||||
| 60-80 | 0,076 | 0,118 | 0,006 | |||||||
| 80-100 | 0,059 | 0,177 | 0,003 | |||||||
| 100-150 | 0,109 | 0,286 | 0,012 | |||||||
| 150-300 | 0,318 | 0,604 | 0,101 | |||||||
| 300-500 | 0,087 | 0,691 | 0,008 | |||||||
| 500-800 | 0,212 | 0,902 | 0,045 | |||||||
| 800-1000 | 0,098 | 1,0 | 0,010 | |||||||
| Итого | - | - | - | - | 0,187 |
2. Средние показатели:
а) средний размер балансовой прибыли на один банк рассчитаем по средней арифметической взвешенной
б) моду рассчитаем по формуле (5.6)
Модальный интервал – 150-300, т.к. частота этого интервала, равная 13, является максимальной.
в) медиану рассчитаем по формуле (5.5)
Медианный интервал – 100-150, т.к. накопленная частота этого интервала, равная 31, - первая накопленная частота, превышающая половину суммы частот ряда.
3. Показатели вариации:
а) дисперсия (по формуле 6.6)
= 
б) среднее квадратическое отклонение (по формуле 6.7)
в) коэффициент вариации (по формуле 6.11)
V>35%, что свидетельствует о неоднородности совокупности.
4. Показатели дифференциации:
а) для нахождения децильного коэффициента определим вначале первый и девятый децили по формуле 5.4
Интервал, соответствующий первому децилю – 50-60, т.к. накопленная частота этого интервала, равная 7, первая накопленная частота, превышающая 0,1 суммы частот.
Интервал, соответствующий девятому децилю – 300-500, т.к. накопленная частота этого интервала, равная 14, первая накопленная частота, превышающая 0,9 суммы частот.
Тогда децильный коэффициент составит: 
б) т.к. 10% самых крупных и 10% самых мелких банков составляют одну и ту же величину (в нашем примере ), то фондовый коэффициент составит (по данным исходной таблицы):
5. Показатели концентрации:
а) коэффициент Джини рассчитаем по формуле 6.27, произведя предварительные расчеты
| 1,652 | 1,428 |
| 6,018 | 5,428 |
| 13,156 | 10,974 |
| 37,448 | 25,168 |
| 60,808 | 55,568 |
| 82,984 | 67,718 |
| 90,02 | |
б) коэффициент Герфиндаля определим по формуле 6.28 (см. итог гр 9):
Пример 6.7. Для иллюстрации принципа расчета коэффициентов Джини и Герфиндаля воспользуемся данными выборочного обследования дневной выручки 20 продуктовых магазинов (тыс. руб):
| Номера мага-зинов i | Значения признака (выручка магазина) х i | Накоп-ленные значения признака | Накоп-ленная доля значений признака q i | Накоп-ленная доля численности единиц ряда: p i | |||
| 0,022 | 0,05 | 0,002 | - | 0,0005 | |||
| 0,044 | 0,1 | 0,007 | 0,002 | 0,0005 | |||
| 0,071 | 0,15 | 0,014 | 0,007 | 0,0007 | |||
| 0,1 | 0,2 | 0,025 | 0,015 | 0,0009 | |||
| 0,137 | 0,25 | 0,041 | 0,027 | 0,0013 | |||
| 0,176 | 0,3 | 0,062 | 0,044 | 0,0015 | |||
| 0,218 | 0,35 | 0,087 | 0,065 | 0,0017 | |||
| 0,262 | 0,4 | 0,118 | 0,092 | 0,0019 | |||
| 0,308 | 0,45 | 0,154 | 0,123 | 0,0021 | |||
| 0,359 | 0,5 | 0,198 | 0,162 | 0,0026 | |||
| 0,411 | 0,55 | 0,246 | 0,205 | 0,0026 | |||
| 0,472 | 0,6 | 0,307 | 0,296 | 0,0037 | |||
| 0,533 | 0,65 | 0,373 | 0,320 | 0,0037 | |||
| 0,597 | 0,7 | 0,447 | 0,388 | 0,0040 | |||
| 0,66 | 0,75 | 0,528 | 0,462 | 0,0040 | |||
| 0,724 | 0,8 | 0,615 | 0,543 | 0,0040 | |||
| 0,787 | 0,85 | 0,709 | 0,630 | 0,0040 | |||
| 0,853 | 0,9 | 0,811 | 0,725 | 0,0044 | |||
| 0,927 | 0,95 | 0,927 | 0,834 | 0,0054 | |||
| 1,0 | 1,0 | - | 0,95 | 0,0054 | |||
| å | 5,670 | 5,584 | 0,05528 |
Коэффициент Джини равен 0,086, что свидетельствует о невысоком уровне концентрации выручки магазинов. Значение коэффициента Герфиндаля, равное 0,05528, подтверждает этот вывод.
Следует отметить, что приведенные расчеты носят исключительно иллюстративный характер, поскольку экономический смысл коэффициентов Джини и Герфиндаля наиболее полно проявляется лишь при проведении сравнений исследуемых явлений во времени и в пространстве. Например, коэффициента Джини для характеристики дифференциации доходов населения в различных регионах РФ или странах, Коэффициента Герфиндаля для характеристики концентрации производства, капитала. Основное достоинство коэффициента Герфиндаля – его высокая чувствительность к изменению в суммарном обороте долей крупнейших участников, что позволяет отслеживать концентрацию рыночного оборота и реагирует на число участников рынка. Коэффициент Герфиндаля может быть использован в качестве меры диверсификации кредитного портфеля банка. Чем меньше значение коэффициента Герфиндаля, т.е. чем больше диверсифицирован кредитный портфель, тем ниже могут быть требования по капиталу к кредитному портфелю.
6.2. Контрольные вопросы к теме 6
1. Чем вызвана необходимость изучения вариации признака?
2. Укажите основные показатели вариации.
3. Какие вам известны способы расчета дисперсии и среднего квадратического отклонения?
4. Как определяется дисперсия альтернативного признака?
5. Что такое коэффициент вариации?
6. Правило сложения дисперсий. Что показывают частная (внутригрупповая), средняя из частных, межгрупповая и общая дисперсии?
7. Как рассчитываются и что характеризуют коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение?
8. Как рассчитывают и что характеризуют коэффициент дифференциации и коэффициент фондов?
9. Показатели концентрации: коэффициенты Джини и Герфиндаля.
6.3. Контрольные задания к теме 6
1. Дисперсия признака равна 600. Объем совокупности равен 10. Сумма квадратов индивидуальных значений признака равна 6250. Найти среднюю величину.
2. Средняя величина в совокупности равна 15, среднее квадратическое отклонение равно 10. Чему равен средний квадрат индивидуальных значений этого признака?
3. Средняя величина в совокупности равна 13, а средний квадрат индивидуальных значений этого признака равен 174. Определить коэффициент вариации.
4. Дисперсия признака равна 360000, коэффициент вариации равен 50%. Чему равна средняя величина признака?
5. Дисперсия признака равна 360, средний квадрат индивидуальных значений равен 585. Чему равна средняя?
6. Определить дисперсию признака, если средняя величина признака равна 2600, а коэффициент вариации признака равен 30%.
7. Общая дисперсия равна 8,4. Средняя величина признака для всей совокупности равна 13. Средние по группам равны соответственно 10, 15 и 12. Численность единиц в каждой группе составляет 32, 53, и 45. Определить среднюю внутригрупповую дисперсию.
8. По совокупности, состоящей из 100 единиц, известны: средняя арифметическая – 47,0; сумма квадратов индивидуальных значений признака–231592. Определить, однородна ли изучаемая совокупность.
9.
Определить величину эмпирического корреляционного отношения, если общая дисперсия равна 15,2; групповые средние ; 
, а численность групп соответственно равны 75, 60 и 65.
10. Для изучения уровня заработной платы рабочих на предприятии обследовано 500 мужчин и 300 женщин. Результаты исследования показали, что у мужчин средняя заработная плата составила 1200 у.е. при среднеквадратическом отклонении 200 у.е., у женщин соответственно 800 у.е. и 150 у.е.
Определить: 1) среднюю заработную плату работников;
2) дисперсии заработной платы и коэффициент вариации;
11. Имеются данные о чистой прибыли (балансовой за вычетом налогов) предприятий двух районов:
Определите дисперсии чистой прибыли: групповые (по каждому району), среднюю из групповых, межгрупповую и общую.
12. Имеются данные о заработной плате по двум группам работников:
Найти все виды дисперсий заработной платы, коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
13. Имеются следующие данные о среднем ежедневном времени занятости семейных женщин в домашнем хозяйстве:
Найти общую дисперсию занятости, коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
14. Есть две группы людей с разным месячным доходом (тыс. руб.):
Группа А: 3, 3, 3, 4.
Группа Б: 6, 6, 7.
В какую группу нужно отнести человека с доходом 5 тыс. руб. в месяц.
15. По результатам маркетингового исследования туристических фирм, организующих недельные туры в Турцию в различные курортные города, получены следующие данные о вариации стоимости туров (цены приведены для гостиниц одного класса):
Найти общую дисперсию, коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
16. По данным выборочного обследования заработной платы работников бюджетной сферы получены следующие показатели:
Определить: 1) среднюю заработную плату работников по двум отраслям;
3) коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
17. Имеются следующие данные (условные) по трем группам рабочих:
2) дисперсии заработной платы;
3) коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
18. При изучении бюджета времени студентов было проведено обследование учащихся ВУЗов. При обследовании ВУЗы были разбиты на 7 групп по специализации. Были получены следующие результаты среднего количества времени, затрачиваемого студентами ежедневно на самостоятельную работу:
Используя правило сложения дисперсий определить зависимость между средним числом часов на самостоятельную работу от специализации студента.
19. Для определения средней величины расходов на полугодовую подписку на газеты и журналы обследуемая совокупность семей разбита на группы по уровня дохода на три группы. По группам получены следующие результаты:
Определите все виды дисперсий расходов, коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
20. В районе 20 тыс. семей, проживающих в городах, поселках городского типа и сельской местности. В результате были получены следующие данные о среднем числе детей в семьях:
Используя правило сложения дисперсий определите коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
21. Имеются следующие выборочные данные о вкладах населения района:
Определите тесноту связи между средним размером вклада и типом населения, исчислив коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
22. Капитал коммерческих банков характеризуется следующими данными:
Определите показатели тесноты связи между размером собственного капитала банков и привлеченными средствами, исчислив коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
23. По данным обследования коммерческих банков города 70% общего числа клиентов составили юридические лица со средним размером кредита 120 тыс. руб. и коэффициентом вариации 25%, а 30% - физические лица со средним размером ссуды 20 тыс. руб. при среднем квадратическом отклонении 6 тыс. руб.
Используя правило сложения дисперсий, определите тесноту связи между размером кредита и типом клиента, исчислив коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
24. Товарооборот по предприятиям общественного питания на одного работника за квартал характеризуется следующими данными:
Определите все виды дисперсий товарооборота предприятий общественного питания, коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
25. Имеются данные о распределении семей сотрудников финансовой корпорации по количеству детей:
Вычислите все виды дисперсий, используя правило сложения дисперсий.
26. Распределение основных фондов по малым предприятиям отрасли характеризуется следующими данными:
Рассчитайте коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение. Сделайте выводы.
27. По переписи населения 1926 года в России доля грамотных среди женщин составляла 46%, а среди мужчин – 77%. Определить общий (средний) процент грамотности всего населения и дисперсию этого показателя, если женщины составляли 53% в общей численности населения.
28. Определить дисперсию и среднее квадратическое отклонение, если при проверке партии изделий из 1000 шт. 30 шт. оказались бракованными.
29. Для определения удельного веса женщин в численности работающих в отрасли все предприятия были разбиты по среднесписочному числу работающих на 3 группы:
1-я гр. – с числом работающих до 1000 человек;
2-я гр. - с числом работающих от 1001 до 5000 человек;
3-я гр. - с числом работающих свыше 5000 человек.
Общая численность работающих в 1 группе – 120 тыс.человек, во 2-й группе – 89 тыс., в 3-й группе – 50 тыс. Доля женщин в первой группе оказалась равной 47%, во 2-й – 36%, в 3-й – 29%. С помощью правила сложения дисперсий определите дисперсию удельного веса женщин в отрасли.
30. Имеются следующие данные о числе домохозяйств, находящихся в условиях крайней бедности (среднедушевые доходы в два раза ниже прожиточного минимума):
Сделайте выводы.
31. Имеются следующие данные о расходах домохозяйств района на товары культурно-бытового назначения:
Определите все виды дисперсий, коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
32. Имеются следующие данные о расходах на платные услуги домохозяйствами района:
Определите все виды дисперсий, коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
33. Имеются следующие выборочные данные о расходах на питание домохозяйствами города:
Определите все виды дисперсий, коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
34. Имеются данные о совокупной выручке (млрд. руб.) за 1997г. 50 крупнейших аудиторско-консультационных фирм
| - | 78,1 | - | 17,5 | - | 7,2 | - | 4,0 | - | 2,7 | |||||
| - | 44,8 | - | 15,8 | - | 7,0 | - | 3,8 | - | 2,7 | |||||
| - | 35,2 | - | 15,7 | - | 6,8 | - | 3,6 | - | 2,7 | |||||
| - | 34,6 | - | 14,5 | - | 6,6 | - | 3,6 | - | 2,7 | |||||
| - | 32,5 | - | 13,2 | - | 5,6 | - | 3,5 | - | 2,6 | |||||
| - | 31,8 | - | 12,0 | - | 5,1 | - | 3,1 | - | 2,6 | |||||
| - | 25,4 | - | 11,6 | - | 4,8 | - | 3,0 | - | 2,2 | |||||
| - | 23,0 | - | 9,4 | - | 4,5 | - | 3,0 | - | 2,1 | |||||
| - | 17,8 | - | 7,6 | - | 4,5 | - | 3,0 | - | 1,5 | |||||
| - | 17,7 | - | 7,3 | - | 4,4 | - | 2,9 | - | 1,5 |
1) Постройте вариационный ряд, образовав 7-8 интервалов произвольно.
2) Рассчитайте средний размер размер выручки на одну фирму на основе средней арифметической, моды медианы.
3) Рассчитайте показатели вариации.
4) Измерьте дифференциацию выручки на основе децильного коэффициента и коэффициента фондов.
5) Рассчитайте коэффициент концентрации Джини и Герфиндаля.
35. Имеются данные о распределении населения РФ по размеру среднедушевого денежного дохода в первом полугодии 2000 года:
Рассчитайте: 1) среднедушевой денежный доход на основе средней арифметической, моды и медианы;
2) показатели дифференциации концентрации;
Использование коэффициента вариации имеет смысл при изучении вариации признака, принимающего только положительные значения. Совершенно неправильно пользоваться V в случае измерения колеблемости признака, принимающего как положительные, так и отрицательные значения. Не имеет смысла, например, V, вычисленный для изучения колеблемости среднегодовой температуры воздуха, что особенно ясно при среднегодовой температуре близкой к нулю.
Существует много других аналитических выражений коэффициента Джини, но в целях экономии места мы остановимся на одном.
Имеются данные о распределении населения России по среднедушевому денежному доходу за 2015 год.
| Среднедушевой денежный доход в месяц, руб. | Население в % к итогу | Накопленные частоты |
|---|---|---|
| До 5000 | 2,4 | 2,4 |
| 5000 - 7000 | 3,8 | 6,2 |
| 7000 - 10000 | 8,0 | 14,2 |
| 10000 - 14000 | 12,1 | 26,3 |
| 14000 - 19000 | 14,4 | 40,7 |
| 19000 - 27000 | 18,2 | 58,9 |
| 27000 - 45000 | 22,5 | 81,4 |
| свыше 45000 | 18,6 | 100 |
| Итого | 100 | - |
Рассчитайте:
1. Структурные средние: медиану, первый и третий квартили, первый и девятый децили.
2. Децильный коэффициент дифференциации доходов населения.
Решение:
1. Структурные средние.
1) Медиана - это варианта, расположенная в середине ранжированного ряда. Медиана интервального вариационного ряда распределения определяется по формуле:
Начальное значение интервала, содержащего медиану;
Величина медианного интервала;
Сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;
Частота медианного интервала.
Определим, прежде всего, медианный интервал. Сумма накопленных частот, превышающая половину всех значений (58,9), соответствует интервалу 19 000 - 27 000. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана. Определим её значение по приведённой выше формуле, если
19 000, = 8 000, Σf = 100, = 40,7, = 18,2:
Это так называемый медианный доход - показатель уровня дохода индивида, находящегося в середине ранжированного ряда распределения.
Таким образом, половина населения имеет среднедушевой доход ниже 23 087,91 руб., а вторая половина - вышее 23 087,91 руб.
2) Рассчитаем первый и третий квартили:
Начальные значения квартильных интервалов, первого и третьего соответственно;
i - величина квартильного интервала;
Σf - сумма частот ряда;
- накопленные частоты интервала, предшествующего квартильному;
Частота квартильного интервала.
Определим интервалы, в которых находятся 1 и 3 квартиль. По ряду накопленных частот (третья графа в таблице) видно, что варианта, отсекающая 1/4 численности частот, находится в интервале от 10 000 до 14 000.
А варианта, отсекающая 3/4 численности частот, находится в интервале от 27 000 до 45 000.
То есть у 25% населения душевой доход не превышает 13 570,25 руб.
То есть у 25% населения душевой доход выше, чем 39 880,00 руб.
3) Децили делят ряд распределения признака по частоте на 10 равных частей.
Рассчитаем первый и девятый децили.
Начальные значения децильных интервалов, первого и девятого соответственно;
i - величина децильного интервала;
Σf - сумма частот ряда;
- накопленные частоты интервала, предшествующего децильному;
Частота децильного интервала.
Коэффициент Джини равен:
K L = ?p i q i+1 - ?p i+1 q i = 1.43999999 - 1.22666665 = 0.21333334
Децильный коэффициент дифференциации доходов.
Децильный коэффициент дифференциации доходов - соотношение среднедушевых денежных доходов последней и первой групп населения. Он показывает, во сколько раз доходы 10% наиболее обеспеченного населения превышают доходы 10% наименее обеспеченного населения.
Задача №16.
Две фирмы предлагают проекты строительства дома отдыха. Первая обещает построить дом за 2 года при инвестициях в первый год - 200 млн.руб., во второй год - 300 млн. руб. Вторая фирма обещает построить дом за 3 года при инвестициях в начале каждого года в 90, 180 и 288 млн.руб. соответственно. Определите:
- Какой из этих проектов дешевле, если для сравнения использовать ставку дисконтирования = 20%.
- Какой из этих проектов дешевле, если для сравнения использовать ставку дисконтирования = 10%.
- Уравновешивающую ставку дисконтирования, при которой ни одному из проектов нельзя отдать предпочтение.
Оценим оба варианта при ставке 20%:
- 1. 200+300/(1+0,2)=450 млн. р.
- 2. 90+ 180/(1+0,2) +288/(1+0,2) 2 = 440 млн. р.
Ответ. Второй вариант дешевле.
Оценим оба варианта при ставке 10%:
- 1. 200+300/(1+0,1)=472.73 млн. р.
- 2. 90+ 180/(1+0,1) +288/(1+0,1) 2 = 491.66 млн. р.
Ответ. Первый вариант дешевле.
Для уравновешивающей ставки i должно быть выполнено равенство:
90+ 180/(1+i/100) +288/(1+i/100) 2 = 200+300/(1+i/100)
Сделаем замену t = 1/ (1 + i / 100)
288 t 2 - 120 t - 110 = 0
t = 0.86 => i = (1 / t - 1) * 100% = 16.2%
Задача №17.
Фермер выращивает пшеницу и продает ее на конкурентном рынке по 4 руб./кг. Зависимость объема производства пшеницы от площади используемой земли (производственная функция) задана: Q(X) = 2000X-3XІ, где Х - объем использования земли (га)
Сколько пшеницы будет ежегодно выращивать фермер, если рента, которую он платит за землю, составляет 320 руб./га?
Выручка (в зависимости от объема использования земли)
Издержки
Т.о. фермер будет использовать 320га, а значит, будет производить
Q(320) = 2000 320 - 3 320 2 = 332800 кг
Объем потребления населением материальных благ и услуг, определяемый по балансу денежных доходов и расходов населения, является наиболее обобщающим показателем потребления, по-скольку по балансу может быть проанализирована структура по-требления населения.
Денежные расходы населения сгруппированы следующим об-разом:
Покупка товаров и оплата услуг;
Обязательные платежи и добровольные взносы;
Прирост сбережений во вкладах и ценных бумагах ;
Покупка недвижимости;
Расходы населения на приобретение иностранной валюты;
Деньги, отосланные по переводам.
Потребительскими расходами населения называется только та часть денежных расходов, которая направляется домашними хо-зяйствами непосредственно на приобретение потребительских то-варов и личных услуг для текущего потребления.
Сюда входят следующие расходы:
На покупку продуктов для домашнего питания;
На питание вне дома;
На покупку непродовольственных товаров (одежды, обуви, теле- и радиоаппаратуры, предметов для отдыха, транспортных средств, топлива, мебели и др.);
На покупку алкогольных напитков;
На оплату услуг (жилья, коммунальных, бытовых и медицин-ских услуг, образования, услуг учреждений культуры и др.).
При изучении объемов потребления фактическое потребление сравнивают с существующими нормативами. В качестве одного из основных нормативов выступает прожиточный минимум (мини-мальный потребительский бюджет), исчисляемый по различным социально-демографическим группам населения (трудоспособное население с разбивкой по полу и возрасту; пенсионеры; дети двух возрастных групп: 0-6 и 7-15 лет), а также по регионам Украины.
Прожиточный минимум определяется как сумма стоимостной оценки установленного набора продуктов питания, расходов на непродовольственные товары и услуги, налогов и обязательных платежей:
А = В + С+ D + Е,
где А — величина прожиточного минимума;
В — стоимость минимальной продовольственной корзины
(В = , где qi - норматив потребления i-го продукта питания, а рi - его средняя цена);
С — стоимостная оценка потребления непродовольственных товаров;
D — стоимостная оценка расходов на платные услуги;
Е — расходы на налоги и обязательные платежи.
При расчете последних трех компонентов учитывается факти-ческая структура расходов в бюджетах 10% наименее обеспеченно-го населения.
На основе информации о доходах и расходах населения рассчи-тывается коэффициент эластичности потребительских расходов населения по доходам, характеризующий, на сколько процентов изменяются расходы населения при изменении их доходов на 1%:
где У — абсолютный прирост расходов населения по сравнению с базисным периодом;
X — абсолютный прирост доходов населения по сравнению с базисным периодом;
Y 0 — величина расходов в базисном периоде;
Х 0 — величина доходов в базисном периоде.
В основе измерения экономической дифференциации населе-ния лежит анализ неравенства в распределении доходов между от-дельными группами населения.
Для оценки дифференциации насе-ления по уровню жизни используются следующие показатели:
Распределение населения по уровню среднедушевых доходов;
Коэффициенты дифференциации доходов населения;
Распределение общего объема денежных доходов по различ-ным группам населения;
Коэффициент концентрации доходов (индекс Джини);
Численность населения с доходами ниже черты бедности, ко-эффициент бедности.
Для изучения особенностей дифференциации населения по уровню доходов используются структурные характеристики рядов распределения (мода, медиана, квартили, децили и др.), а также показатели вариации (среднее квадратическое отклонение, сред-нее квартильное отклонение, коэффициент вариации и др.).
Модальный доход Мо — это уровень дохода, встречающийся наи-более часто среди населения.
Для расчета моды в рядах распреде-ления с равными интервалами используется формула:
Мо = х 0 + i * ,
где х 0 — нижняя граница модального интервала;
i - величина интервала;
f Мо - частота модального интервала;
f Мо-1 - частота интервала, предшествующего модальному;
f Мо+-1 - частота интервала, следующего за модальным.
В случае неравномерного распределения признака внут-ри интервалов (в частности, при постепенном увеличении интер-валов) частоты для расчета моды использованы быть не могут. Для сопоставления групп между собой вместо частоты используется плотность распределения (т=fi/i), характеризующая число единиц совокупности, приходящееся на единицу длины интервала.
В этом случае модальный интервал определяется по максимальной плот-ности, а мода рассчитывается следующим образом:
Мо = х 0 + i *
Медианный доход Ме — это уровень дохода, делящий ряд распределения дохода на две равные части: половина населения имеет душевой доход, не превышающий медианное значение дохода, а другая половина — доход не менее медианного.
Для расчета ме-дианы используется формула:
Ме = х 0 + i * -,
где х 0 - нижняя граница медианного интервала;
п - численность совокупности;
F Ме-1 - накопленная частота интервала, предшествующего медианному;
f Ме - частота медианного интервала.
Аналогично определяются квартили (уровни дохода, делящие совокупность на четыре равные части) и децили (уровни дохода, де-лящие совокупность на десять равных частей). Методы расчета этих показателей рассматривались в первой части курса «Статис-тика» («Общая теория статистики»).
Степень дифференциации населения по размеру среднедуше-вого дохода оценивается с помощью коэффициентов дифферен-циации доходов.
Различают два показателя дифференциации:
- коэффициент фондовой дифференциации (Кф) — соотношение между средними значениями доходов сравниваемых групп населения (обычно это средние доходы, полученные 10% насе-ления с самыми высокими и 10% населения с самыми низкими доходами):
- децильный коэффициент дифференциации доходов (К D) , который показывает, во сколько раз минимальный доход среди 10% наиболее обеспеченного населения превышает макси-мальный доход среди 10% наименее обеспеченного населе-ния. Он исчисляется сопоставлением девятого и первого децилей:
Инструментом анализа концентрации доходов населения являет-ся кривая Лоренца и исчисляемые на ее основе индекс концентра-ции доходов (коэффициент Джини) и коэффициент фондовой дифференциации.
Кривая Лоренца устанавливает соответствие между численно-стью населения и объемом получаемого суммарного дохода. Для ее построения население разбивают на группы, равные по числен-ности и отличающиеся уровнем среднедушевого дохода. Группы ранжируются по величине среднедушевого дохода. Для каждой группы определяются частости — доли в общей численности насе-ления (, где - численность населения i -й группы; - общая численность населения) и доли в общей сумме доходов (, где - среднее значение дохода в i-й группе), а на их основе — накопленные частости . При равномерном распределении доходов десятая часть населения с самыми низкими доходами бу-дет иметь 10% общей суммы доходов, двадцатая часть — 20% общей суммы доходов и т.д. Линия, соответствующая фактическому распределению дохо-дов, отклоняется от линии равномерного распределения тем боль-ше, чем значительнее неравенство в распределении доходов.
Коэффициент концентрации доходов G (коэффициент Джини) позволяет проанализировать степень концентрации доходов у раз-личных групп населения и количественно оценить неравномер-ность их распределения. Коэффициент Джини рассчитывается по данным о накопленных частостях численности и денежного дохо-да населения и изменяется от 0 до 1:
где к — число интервалов группировки;
рi — доля населения, имеющего среднедушевой доход, не превышающий верхнюю границу i-го интервала;
qi — доля доходов i-й группы населения в общей сумме доходов, рассчитанная нарастающим итогом.
Коэффициентом бедности называют относительный показатель, исчисляемый как процентное отношение численности населения, имеющего уровень доходов ниже прожиточного минимума, к об-щей численности населения страны (региона).
Показатели дифференциации доходов населения
Различные социальные слои и группы людей имеют неодинаковый уровень доходов. В табл. 16.1 представлены данные, характеризующие фактическое распределение среднемесячного дохода населения в Беларуси.
Таблица 16.1
Продолжение табл. 16.1
| Месячный среднедушевой доход, тыс. руб. | Частость (доля населения в общей численности) | Середина интервала | Суммарный денежный доход, тыс. руб. | Накопленная частость |
| 105,1 - 130,0 | 18,0 | 117,6 | 2115,9 | 45,0 |
| 130,1 - 160,0 | 18,5 | 145,1 | 2683,4 | 63,5 |
| 160,1 - 190,0 | 13,2 | 175,1 | 2310,7 | 76,7 |
| 190,1- 220,0 | 9,0 | 205,1 | 1845,5 | 85,7 |
| 220,1 - 340,0 | 11,5 | 280,1 | 3220,6 | 97,2 |
| более 340,0 | 2,8 | 400,1 | 1120,1 | 100,0 |
| Итого | 100,0 | 1540,4 | 15317,6 | x |
Источник исходных данных: Статистический ежегодник Республики Беларусь: 2004 / М-во статистики и анализа Респ. Беларусь; Отв. за вып. Л.Л. Рыбчик. – Минск, 2004. – С.166.
Существуют различные способы измерения степени дифференциации доходов населения.
1. Показатели центральной тенденции ряда:
1.1. Модальное (т.е. наиболее распространенное) значение дохода определяется по формуле:
где X Mo – минимальная граница модального интервала, т.е. интервала, имеющего наибольшую частоту (или частость). Частота показывает, сколько раз встречается значение признака в совокупности, а частость – это отношение частоты к сумме частот, выраженное в процентах или долях единицы (в данном случае равна 130,1),
I Mo – величина модального интервала, в данном случае равна 29,9 (160,0-130,1),
f Mo , f Mo -1 , f Mo +1 – соответственно частоты (частости) модального интервала, предшествующего и следующего за ним.
1.2. Медианное значение дохода (т.е. такое, выше и ниже которого получают доход одинаковое количество работников или населения) определяется следующим образом:
где X M е – минимальная граница медианного интервала, т.е. интервала, накопленная частота (частость) которого равна или превышает полусумму накопленных частот (частостей) – (в данном случае 63,5 > 50,0),
I M е – величина медианного интервала – равна 29,9 (160,0-130,1) – в данном случае совпадает с модальным интервалом,
– полусумма частот (частостей) ряда, равна 50,
S Me -1 – накопленная частота (частость), предшествующая медианному интервалу, в данном случае равна 45,0,
f Me – частота (частость) медианного интервала, в данном случае – 18,5.
1.3. Средний доход (определяется путем деления суммарного объема доходов на общую численность населения):
где X – величина среднедушевого дохода,
f – численность населения (доля населения), получающего данный доход.
По данным табл.16.1 получим:
M o = 30,1 +29,9 x (18,5–18,0) : ((18,5–18,0) + (18,5–13,2)) = 132,7 (тыс. руб.);
M e = 130,1 + 29,9 x (100: 2 – 45) : 18,5 = 138,2 (тыс. руб.);
15317,6: 100 = 153,2 (тыс. руб.).
2. Коэффициенты дифференциации доходов населения , устанавливают размер превышения денежных доходов групп с высокими доходами по сравнению с группами населения с низкими доходами:
2.1. Децильный коэффициент – это отношение суммы доходов 10% самых богатых семей к доходам 10% самых бедных. Децильный коэффициент составлял в Беларуси 5,8 (2000 г.), России 20,3 (2000 г.), Литве 7,9 (2000 г.), Латвии 8,9 (1998 г.), Швеции 5,9 (1995 г.), Германии 14,2 (1998 г.), США 17,0 (1997 г.), Бразилии 65,8 (1998 г.).
2.2. Квинтильный коэффициент - это отношение доходов 20% самых богатых семей к доходам 20% самых бедных. Квинтильный коэффициент составлял в Беларуси 4,0 (2000 г.), России 10,5 (2000 г.), Литве 5,1 (2000 г.), Латвии 5,3 (1998 г.), Швеции 3,8 (1995 г.), Германии 7,9 (1998 г.), США 8,9 (1997 г.), Бразилии 29,7 (1998 г.).
2.3. Коэффициент фондов измеряет соотношение между средними значениями располагаемого дохода или их долями в общем объеме располагаемых доходов верхнего и нижнего децилей.
2.4. Коэффициент направленности стратификации населения (показатель социального расслоения) – это отношение доли населения со среднедушевым денежным доходом ниже прожиточного минимума к доле населения со среднедушевым денежным доходом выше удвоенной величины прожиточного минимума. Если коэффициент выше 1, в обществе больше относительно бедных, чем относительно богатых; если он увеличивается, то относительная бедность растет. Но коэффициент не дает представления о степени поляризации общества, так как он не изменится, если число относительно бедных и относительно богатых растут одинаковыми темпами.
3. Степень неравенства доходов семей может быть проиллюстрирована графически с помощью кривой Лоренца (рис. 16.1). На вертикальной оси откладывается доля дохода, на горизонтальной – доля семей. Если бы на каждую семью приходился одинаковый размер дохода, то. существовало бы абсолютное равенство, такую ситуацию графически отображала бы биссектриса угла (линия 0е). Ситуация абсолютного неравенства наблюдалась бы, если бы 1% семей имел бы 100% дохода (кривая 0fe). Кривая Лоренца (фактическое распределение дохода) расположена ниже биссектрисы.
На рис. 16.1 кривая 0аbсdе показывает фактическое распределение доходов населения (после вычета налогов и включая трансферты). Кривая распределения доходов до уплаты налогов и без учета трансфертных платежей (пунктирная линия) будет круче. Область между кривой Лоренца и биссектрисой показывает степень неравенства доходов: чем она больше, тем сильнее неравенство.
Рис. 16.1. Кривая Лоренца по распределению доходов семей
Кривая Лоренца используется для сравнения распределения доходов в различных странах, в различные периоды времени в одной стране или между различными группами населения.
4. Коэффициенты концентрации доходов :
4.1. Коэффициент Лоренца колеблется от 0 (полное равенство) до 1 (абсолютное неравенство) и рассчитывается по формуле:
L = ∑│ x i – f i │ , (16.5)
где x i – доля доходов (в долях единицы), сосредоточенная у i-ой социальной группы населения;
f i – доля населения (в долях единицы), принадлежащая i-ой социальной группе в общей численности населения.
4.2. Коэффициент Джини (коэффициент концентрации доходов) равен отношению площади сегмента, образуемого кривой Лоренца и линией равномерного распределения, к площади треугольника 0ef. Он рассчитывается с целью изучения характера изменений в распределении доходов общества, а также для определения межрегиональных и международных сравнений в уровне концентрации доходов. Коэффициент изменяется от 0 (полное равенство) до 1 (абсолютное неравенство) и определяется как:
где S x – накопленная частота денежного дохода.
По данным табл.2 коэффициенты Лоренца и Джини составят:
L = 0,366: 2 = 0,183;
G = 1 – 2 x 0,479 + 0,200 = 0,242.
Таблица 16.2
Расчет коэффициентов Лоренца и Джини
| Квинтильная группа населения | Доля населения | Доля дохода к итогу | Отклонение доли дохода от доли населения | Сумма накопленных частостей денежного дохода | ||
| fi | xi | │xi – fi│ | Sx | fi Sx | fi xi | |
| Первая группа (с наименьшими доходами) | 0,2 | 0,098 | 0,102 | 0,098 | 0,020 | 0,020 |
| Вторая группа | 0,2 | 0,141 | 0,059 | 0,239 | 0,048 | 0,028 |
| Третья группа | 0,2 | 0,178 | 0,022 | 0,417 | 0,083 | 0,036 |
| Четвертая группа | 0,2 | 0,225 | 0,025 | 0,642 | 0,128 | 0,045 |
| Пятая группа | 0,2 | 0,358 | 0,158 | 1,000 | 0,200 | 0,072 |
| Итого | 1,0 | 1,000 | 0,366 | - | 0,479 | 0,200 |
Источник исходных данных: Статистический ежегодник Республики Беларусь: 2004 / М-во статистики и анализа Респ. Беларусь; Отв. за вып. Л.Л. Рыбчик. – Минск, 2004. – С.167.
Неравенство распределения доходов существовало всегда и во всех странах. Равенство, понимаемое как одинаковость доходов, находится в противоречии с идеей свободы и просто неосуществимо. Под равенством в настоящее время обычно понимается “равенство возможностей”: никто не должен препятствовать людям использовать свои способности для достижения поставленных целей. Но равенство возможностей не означает равные результаты.
Стремление уравнять доходы, характерное для централизованно управляемой экономики, имело следствием снижение эффективности производства. Рыночная экономика при большем неравенстве доходов оказалась более эффективной. В определенной степени уравнивание доходов может способствовать максимизации общей полезности: 100 тыс. руб. для богатого менее ценны, чем для бедного, поэтому передача их от богатого к бедному незначительно уменьшит полезность имеющегося дохода богатого и значительно увеличит полезность дохода для бедного. В то же время чрезмерная дифференциация доходов (огромные состояния на одном полюсе и нищета на другом) негуманна по отношению к бедным и может привести к крупным социальным конфликтам. Поэтому государство вмешивается в распределение доходов, перераспределяя их в пользу менее имущих слоев населения, но так, чтобы это не влекло значительного снижения эффективности производства. При этом потери средств в процессе перераспределения доходов в виде потери части выпуска и дохода из-за пагубного влияния налогов и трансфертов на стимулы к трудовой деятельности, к сбережениям, инвестициям, к желанию нести предпринимательский риск, в виде заработной платы лиц, занимающихся перераспределением, не должны быть чрезмерными.
