Одной из основных задач финансовых институтов является оценка рыночных рисков, которые возникают вследствие флуктуации (благоприятном событии) цен акций, сырьевых товаров, обменных курсов, процентных ставок и т.д. Простейшей мерой зависимости инвестора от рыночных рисков является величина изменения капитала портфеля, т.е. прибыли или убытки, возникающие вследствие движения цен активов. Наиболее распространенной на сегодняшний момент методологией оценивания рыночных рисков является Стоимость Риска (Value – at – Risk , VAR). VAR является суммарной мерой риска, способной производить сравнение риска по различным портфелям (например, по портфелям из акций и облигаций) и по различным финансовым инструментам (например, форварды и опционы).

Показатель рисковой стоимости был разработан в конце 1980 – х гг. и сразу же завоевал признание среди крупнейших участников финансового рынка. Впоследствии показатель рисковой стоимости (VAR) стал полноценным стандартом информации о риске фирмы, который мог использоваться внутри самой компании, а также указываться в отчетах для инвесторов и регулирующих органов.

За последние несколько лет VAR стал одним из самых популярных средств управления и контроля риска в компаниях различного типа. Вызвано это было несколькими причинами. Первой причиной стало, несомненно, раскрытие в 1994 г. крупнейшей инвестиционной компанией США Дж.П. Морган системы оценивания риска Riskmetrics TM и предоставление в свободное пользование базы данных для этой системы для всех участников рынка. Значения VAR, полученные с использованием системы Riskmetrics TM и до сих пор являются неким эталоном для оценок VAR. Вторая причина заключается в инвестиционном "климате", который царил в конце 1990 – х годов и был связан с огромными потерями, понесенными финансовыми институтами, в частности, при оперировании на рынках производных ценных бумаг (инструменты финансового рынка, функционирующие на базе основных активов (акций, облигаций и т.д.)). В таблице 3.7. указаны потери, понесенные некоторыми западными компаниями и даты, на которые они были обнародованы. Третьей причиной , является решение организаций, осуществляющих надзор за банками, использовать величины VAR для определения резервов капитала.

Таблица 3.7.

Потери крупных западных компаний за 1993 – 1995гг.

Дата отчета	Компания	Потери (в млн. руб)
	Metallgesellschaft
	Askin Capital Management
	Procter & Gamble
	Paine Webber Bond Mutual Fund
	Orange County CA

Рисковая стоимость отражает максимально возможные убытки от изменения стоимости финансового инструмента, портфельного активов, компании, которое может произойти за данный период времени с заданной вероятностью его появления. Например, когда говорят, что рисковая стоимость на 1 день составляет 100 тыс. долларов США с доверительным интервалом 95% (или вероятностью потерь 5%), это означает, что потери в течение одного дня, превышающие 100 тыс. долларов, могут произойти не более чем в 5% случаев.

Говоря простым языком, вычисление величины VAR проводится с целью заключения утверждения подобного типа: "Мы уверены на X % (с вероятностью X %), что наши потери не превысят Y долларов в течение следующих N дней". В данном предложении неизвестная величина Y и есть VAR. Она является функцией 2 – х параметров: N – временного горизонта и X – доверительного интервала (уровня). Так, например, стандартом для брокерско – дилерских отчетов по операциям с внебиржевыми производными инструментами, передаваемым в Комиссию по биржам и ценным бумагам США, являются N равное 2 – м неделям и X = 99 %. The Bank of International Settlements для оценки достаточности банковского капитала установил X = 99 % и N равным 10 дней. Компания Дж.П. Морган опубликовывает свои дневные значения VAR при 95 % – ом доверительном уровне.

Для определения величины рисковой стоимости необходимо знать зависимость между размерами прибылей и убытков и вероятностями их появления, т.е. распределение вероятностей прибылей и убытков в течении выбранного интервала времени. В этом случае по заданному значению вероятности потерь можно однозначно определить размер соответствующего убытка.

Типичным приемом является использование нормального распределения вероятностей.

Ключевые параметры при определении рисковой стоимости – доверительный интервал и временной горизонт . Поскольку убытки являются следствием колебаний цен на рынке, доверительный интервал служит той границей, которая, по мнению управляющего портфелем, отделяет «нормальные» колебания рынка от экстремальных ценовых всплесков по частоте их проявления. Обычно вероятность потерь устанавливается на уровне 1%, 2,5 или 5% (соответствующий доверительный интервал составляет 99%, 97,5 и 95%), однако риск – менеджер может выбрать какое-либо другое значение в соответствии со стратегией управления капиталом, которой придерживается компания.

Помимо субъективной оценки, доверительный интервал может быть установлен и объективным методом. Для этого строят график реально наблюдаемого (эмпирического) распределения вероятностей прибылей и убытков и совмещают его с графиком плотности нормального распределения. Точки пересечения «хвостов»эмпирического и нормального распределения и будут задавать искомый доверительный интервал.

Следует учитывать, что с увеличением доверительного интервала показатель рисковой стоимости будет возрастать.

Выбор временного горизонта зависит от того, насколько часто производятся сделки с данными активами, а также от их ликвидности. ДЛя финансовых институтов, ведущих активные операции на рынках капитала, типичным периодом расчета является 1 день, в то время как стратегические инвесторы и нефинансовые компании могут использовать и большие периоды времени. Кроме того, при установлении временного горизонта следует учитывать наличие статистики по распределению прибылей и убытков для желаемого интервала времени. Вместе с удлинением временного горизонта возрастает и показатель рисковой стоимости.

Значение рисковой стоимости определяется на основе свойств нормального распределения. Так, если доверительный интервал задан на уровне 95%, то величина рисковой стоимости равна 1,65 стандартного отклонения портфеля. Таким образом, величина рисковой стоимости рассчитывается по следующей формуле:

,

где Z – количество средних квадратических отклонений, соответствующее заданному доверительному интервалу;

t – временной горизонт; p – вектор размера позиций; Q – ковариационная матрица изменений стоимости позиций.

Следует заметить, что концепция рисковой стоимости неявно предполагает, что состав и структура оцениваемого портфеля активов будут оставаться неизменными на протяжении всего временного горизонта. Такое допущение вряд ли оправдано для сравнительно больших интервалов времени, поэтому при каждом обновлении портфеля необходимо корректировать величину рисковой стоимости.

Исторически подход оценки риска, основанный на VAR, впервые был рекомендован Группой Тридцати (The Global Derivatives Study Group, G30) в 1993 г. в исследовании "Derivatives: Practices and Principles". В том же году Европейский Совет в директиве "EEC 6 – 93" предписал установку резервов капитала для покрытия рыночных рисков с использованием моделей VAR. В 1994 г. The Bank of International Settlements рекомендовал банкам раскрытие своих значений VAR. В 1995 г. Базельский комитет по надзору за банками предложил банкам использовать собственные модели оценки VAR в качестве основы для расчета резервов капитала. Требования к размеру резервного капитала V рассчитывались как максимум двух величин: текущего значения VAR (VAR t ) и среднего VAR за предыдущие 60 дней, умноженного на коэффициент со значением между 3 и 4:

Значение фактора λ зависит от однодневного предсказания модели за предыдущие периоды времени. Так, если обозначить через K – число раз, когда однодневные потери превосходили предсказанное значение VAR за последний год (или последние 250 торговых дней), то различают следующие 3 зоны: "зеленая" зона (K меньше или равно 4), "желтая" зона (К в диапазоне от 5 до 9), "красная" зона (К больше или равно 10). Если K лежит в "зеленой" зоне, то λ= 3, если в "желтой" зоне, то 3< λ< 4, если в "красной" зоне, то λ =4.

Разработка и внедрение моделей VAR происходит стремительным образом. В инвестиционных компаниях и банках методология VAR может применяться по крайней мере в 4 – х направлениях деятельности.

1) Внутренний мониторинг рыночных рисков. Институциональные инвесторы могут вычислять и производить мониторинг значений VAR по нескольким уровням: агрегированному портфеля, по классу актива, по эмитенту, по контрагенту, по трейдеру/портфельному менеджеру и т.д. С точки зрения мониторинга точность оценивания величины VAR уходит на второй план поскольку в данном случае важна величина относительного, а не абсолютного значения VAR, т.е. VAR управляющего или VAR портфеля по сравнению с VAR эталонного портфеля, индекса, другого менеджера или того же менеджера в предыдущие моменты времени.

2) Внешний мониторинг. VAR позволяет создать представление о рыночном риске портфеля без раскрытия информации о составе портфеля (который может быть довольно запутанным). Кроме того, регулярные отчеты с использованием цифр VAR, предоставляемые начальству, могут служить одним из аргументов того, что риск, который взяли на себя управляющие менеджеры, находится в приемлемых рамках.

3) Мониторинг эффективности хеджа. Значения VAR могут использоваться для определения степени того, насколько хеджирующая стратегия выполняет поставленные цели. Менеджер может оценить эффективность хеджа путем сравнения величин VAR портфелей с хеджем и без хеджа. Если, например, разница между этими двумя величинами невелика, то возникает вопрос о целесообразности хеджирования или правильно ли хеджирование применяется.

4) "Что – если" анализ возможных трейдов. Методология VAR позволяет дать больше свободы и автономии управляющему персоналу, так как становится возможным сократить всевозможные бюрократические процедуры, связанные с утверждением тех или иных сделок (особенно с производными инструментами). Это достигается через мониторинг транзакций (сделок) с использованием VAR. Например, высшее руководство может просто установить правило для своих брокеров – дилеров подобного рода: "Никакая операция не должна приводить к увеличению значения VAR более чем на X% начального капитала" и после этого не вдаваться впоследствии в подробности каждого конкретного трейда.

Таким образом, компании могут использовать значения VAR для создания отчетов для менеджеров, акционеров и внешних инвесторов, так как VAR позволяет агрегировать всевозможные рыночные риски в одно число, имеющее денежное выражение. С помощью методологии VAR становится возможным вычислить оценки риска различных сегментов рынка и отождествить наиболее рисковые позиции. Оценки VAR могут использоваться для диверсификации капитала, установки лимитов, а также оценки деятельности компании. В некоторых банках оценка операций трейдеров, а также их вознаграждение вычисляется исходя из расчета доходности на единицу VAR.

Нефинансовые корпорации могут использовать технику VAR для оценки рисковости денежных потоков и принятия решений о хеджировании (защите капитала от неблагоприятного движения цен). Так одной из трактовок VAR является количество незастрахованного риска, которое принимает на себя корпорация. Среди первых нефинансовых компаний, начавших применять VAR для оценки рыночного риска, можно отметить американскую компанию Mobil Oil, немецкие компании Veba и Siemens, норвежскую Statoil.

Инвестиционные аналитики используют VAR для оценивания различных проектов. Институциональные инвесторы, такие как пенсионные фонды, используют VAR для расчета рыночных рисков. Так как было отмечено в исследовании New York University Stern School of Business, около 60% – ов пенсионных фондов США используют в своей работе методологию VAR.

Как уже отмечалось, для заданного временного интервала , где t – текущий момент времени, и доверительного уровня p VAR есть убыток на временном интервале , который произойдет с вероятностью 1 – p.

Приведем простой пример: пусть дневное значение VAR для данного портфеля есть $2 миллиона при 95% доверительном уровне. Такое значение VAR означает, что при отсутствии резких изменений в рыночных условиях однодневный убыток превысит $2 миллиона в 5% случаев (или 1 раз в месяц, если исходить из того, что в месяце 20 рабочих дней).

Говоря математическим языком, VAR = VAR t,T определяется как верхняя граница одностороннего доверительного интервала:

Probability (R t (T) < – VAR}) = 1 – α,

где α есть доверительный уровень, R t (T) есть ставка роста капитала портфеля на интервале при "непрерывном способе начисления процентов":

R t (T) = log (V(t+T)/ V(t)),

где V(t+T) и V(t) есть значения капитала портфеля в моменты времени t+T и t соответственно. Другими словами, V(t+T) = V(t) * exp(R t (T)).

Отметим, что R t (T) является случайной величиной и характеризуется, таким образом, некоторым вероятностным распределением. Значение VAR определяется из распределения приращений портфеля следующим образом:

,

где F R (x) = Probability (R ≤ x) есть функция распределения ставки роста портфеля, f R (x) есть плотность распределения R t (T).

Традиционными техниками аппроксимации распределения R t (T) являются:

параметрический метод;

моделирование по историческим данным

метод Монте – Карло

анализ сценариев

Если изменения капитала портфеля характеризуются параметрическим распределением, то VAR может быть вычислен через параметры этого распределения.

На рисунке 3.19. представлена плотность нормального распределения и указана квантиль Z 1 – α . Площадь под графиком функции плотности левее Z 1 – α (площадь "левого хвоста") равняется 1 – α.

Предполагается, что ставка роста актива μ= 0. Тогда VAR= – V t z 1 – α σ , где V t есть значение капитала портфеля в текущий момент времени t.

Пример 1: Случай одного актива.

На следующем графике 3.20. приведена гистограмма месячных ставок роста индекса FTSE – 100 с 1988 по 1995 гг.

Для вычисления VAR воспользуемся тем фактом, что вероятность вероятность в "левом хвосте" нормального распределения есть известная функция стандартного отклонения σ, а именно, 5% вероятности нормального распределения находится левее 1,65 стандартных отклонений от среднего значения μ. В данном примере имеем оценки μ=0.76% и σ=4,58%. При условии, что текущее значение капитала портфеля есть 1 млн фунтов стерлингов, значение VAR на интервале времени 1 месяц при 95% – ом доверительном уровне есть:

VAR = 1"000"000  (0.0076 – 1.65  0.0458)= 68"012 ф. ст.

Пример 2: Случай двух активов.

Рассмотрим теперь предыдущий пример портфеля, состоящего из "индекса FTSE 100"(предполагается, что инвестор может сформировать свой портфель из акций таким образом, что каждая акция имеет тот же вес, что и в индексе FTSE – 100. Таким образом, приращение такого портфеля будет равно приращению индекса FTSE – 100.), но с точки зрения инвестора, для которого базовой валютой является доллар США. Таким образом, портфель теперь состоит из двух "активов": фондового индекса, деноминированного в фунтах стерлингов, и обменного курса GBP/USD.

Пусть текущее значение обменного курса есть 1.629 долл за фунт ст.. Тогда капитал инвестиционного портфеля в долларах США есть 1"000"000/1.629= $613"874. Таким образом, значение 1 – месячного VAR фондового индекса при 95% – ом доверительном уровне есть:

VAR equity =$613"874  (0.0076 – 1.65  0.045)=$40"915

Оценками стандартного отклонения и среднего обменного курса GBP/USD на интервале времени 01/88 – 01/95 являются 0.0368 и – 0.001 соответственно. Таким образом, 1 – месячное значение VAR обменного курса GBP/USD есть:

VAR forex =$613"874  (– 0.001 – 1.65  0.0368)=$37"888

Теперь мы в состоянии вычислить суммарный VAR портфеля, используя то, что вариация портфеля из двух активов, имеющих совместное нормальное распределение, равняется сумме вариаций каждого актива и двойной корреляции между этими активами, умноженной на стандартные отклонения активов:

(VAR portfolio) 2 =(VAR equity) 2 +(VAR forex) 2 +2  ρ  VAR equity  VAR forex ,

где ρ есть коэффициент корреляции между ставками роста индекса FTSE – 100 и обменного курса GBP/USD. Оценкой ρ является – 0.2136, т.е. индекс FTSE – 100 и курс GBP/USD обратно коррелированы. Таким образом, 1 – месячный VAR портфеля при 95% – ом доверительном уровне есть

Таким образом, можно ожидать, что потери портфеля составят более 8% – ов начального капитала в 5 – ти из 100 месяцев в будущем.

Как можно легко заметить, VAR портфеля оказался меньше суммы VAR индекса и обменного курса (равной $78"803). Это явилось следствием диверсификации портфеля : так как активы имеют отрицательную корреляцию, то убытки по одному активу компенсируются прибылью по другому активу.

Кроме того, как и следовало ожидать, величина VAR для, например, американского инвестора в индекс FTSE – 100 оказывается большей по сравнению с величиной VAR для британского инвестора (равной GBP68"012*1.629=USD41"751), инвестирующего свои средства в тот же "актив – индекс". Это явилось следствием дополнительного риска, который несет в себе обменный курс GBP/USD.

В приведенных выше примерах нормальное распределение было избрано лишь для иллюстративных целей в силу простоты проводимых вычислений. На практике, как известно, приращения цен активов имеют, как говорят, более тяжелые "хвосты" по сравнению с нормальным законом, т.е. в реальности наблюдается больше "экстремальных" событий по сравнению с тем, что можно было бы ожидать при нормальном распределении. VAR по своей природе, как раз и имеет дело с предсказанием событий из "хвостов" распределения (с событиями из "левого хвоста" для "длинных" позиций по активу и с событиями из "правого хвоста" для "коротких" позиций по активу). Подобные события "катастрофического риска", хорошо известны в страховом и перестраховочном бизнесе.

Метод моделирования по историческим данным состоит в конструировании распределения изменений портфеля R t (T) по историческим данным. В данном случае делается только одна гипотеза о распределении доходности капитала портфеля: "будущее" будет вести себя также как и "прошлое". Для примера 1, разобранного выше, имеем что 5% – ая квантиль исторических приращений индекса FTSE – 100 есть – 6.87% (отмечена вертикальной линией на гистограмме). Таким образом, используя исторические данные, получаем следующую оценку VAR для портфеля из "индекса FTSE – 100":

VAR=GBP 1"000"000 * (– 6.87%)=GBP 68"700

(сравните с величиной VAR=GBP 68"012 из примера 1).

Метод Монте – Карло заключается в определении статистических моделей для активов портфеля и их моделировании посредством генерации случайных траекторий. Значение VAR вычисляется из распределения ставок роста капитала портфеля, аналогичного тому, которое изображено на гистограмме для индекса FTSE – 100, но полученного в результате искусственного моделирования.

Метод анализа сценариев изучает эффект изменения капитала портфеля в зависимости от изменения величин рисковых факторов (напр., процентной ставки, волатильности) или параметров модели. Моделирование происходит в соответствии с определенными "сценариями". Так многие банки оценивают величину "PV01" своих портфелей с "фиксированной доходностью" (fixed – income portfolios, т.е. портфелей, состоящих из инструментов "на процентную ставку": облигаций, форвардов на процентную ставку, свопов и т.д.), которая вычисляется как изменение капитала портфеля при параллельном сдвиге кривой доходности на 100 базисных пунктов.

Использование того или иного метода должно основываться на таких факторах как качество базы данных, простота реализации метода, наличие быстродействующих компьютеров, требования к надежности полученных результатов и т.д.

Хотелось бы отметить, что методология VAR не является универсальным способом предупреждения финансовых потерь. Она всего лишь помогает компаниям представить являются ли риски, которым они подвержены, теми рисками, которые они хотели бы на себя принять или думают, что они на себя приняли . VAR не может сказать управляющему компании "сколько риска нужно взять", а может только сказать "сколько риска уже взято". VAR может и должен использоваться не взамен, а в дополнение к другим методам анализа риска таким, например, как Shortfall – at – Risk (SAR, Средняя Величина Убытка ), когда интересуются не только граничной величиной капитала , ниже которой следует ожидать убыток с определенной долей вероятности, а и размером этого убытка.

Как правило, расчет рисковой стоимости сопровождается детальным анализом нескольких возможных сценариев, моделированием эмпирических распределений вероятностей и тестированием портфеля на устойчивость к изменениям основных параметров. Величина рисковой стоимости, как обобщающая оценка рыночного риска, нужна в первую очередь для принятия оперативных решений высшим руководством компании.

В этой статье я хочу познакомить вас с популярным инструментом для оценки финансового риска VaR (ValueAtRisk ). При этом я постараюсь использовать минимум экономических, математических и статистических терминов.

Главные идеи VaR были разработаны и применены в банке JP Morgan в 80-х. Широкое применение VaR получил в 1993 когда был одобрен Группой тридцати(G-30) как часть “лучших практик” для работы с деривативами(производными финансовыми инструментами). А позже стала одним из показателей риска банка по системе Базель II (набор международных рекомендации по банковскому регулированию). Идею используемую в VaR можно отследить до ранних работ лауреата нобелевской премии по экономике Гарии Марковица в 1952.

Зачем нужен VaR?

VaR имеет много применений:

• банки определяют текущий риск по отделам и банку вообщем;
• трейдеры используют VaR в торговых стратегиях (например для определения момента выхода из сделки);
• частные инвесторы для выбора менее рискованных вложений;

Управление рисками

Сначала давайте разберемся что такое управление рисками и зачем это надо.

“Управление рисками это процесс обнаружения, анализа и принятия или смягчения неопределенности в инвестиционных решениях. В сущности, управление рисками происходит всегда когда инвестор или управляющий фондом анализирует и пытается оценить потенциальные убытки и затем принять(или не принять) необходимые меры, учитывая его инвестиционные цели и толерантность к риску”.

→

Почему управление рисками актуально? Даниел Канеман в своей книге “Думай медленно… решай быстро ” утверждает, что люди не любят проигрывать больше чем любят выигрывать. То есть, если человеку предлагают с 50% выиграть 110$ и с 50% проиграть 100$, то он скорее всего откажется, хотя потенциальный выигрыш и больше. Автор называет это ассиметрией потерь (loss averse).

Прогнозированием возможных потерь, к которым люди так чувствительны, мы с вами и займемся. Но перед тем как переходить к VaR нам нужно поговорить о понятии волатильности , без которой невозможно представить управление рисками .

Немного о Волатильности

Сначала рассмотрим два примера.

Пример 1 - пусть весь прошлый года акция А каждый день либо росла на 3%, либо теряла -1%. При этом эти два события были независимы и равновероятны. Если наши вложения составляют 100$, то мы можем с высокой вероятностью сказать, что завтра тенденция сохранится и мы либо получим 3$, либо потеряем -1$ с одинаковой вероятностью. Другими словами вероятность получить +3$ равна 50% и вероятность потерять -1$ тоже равна 50%. Мы даже можем сказать, что ожидаемая прибыль каждый день равна 1$ (3$*50%-1$*50%). Но как мы увидим позже, ожидаемая прибыль это не то что нас интересует при управлении рисками. Для нас важны именно убытки, и с возможными убытками здесь все ясно - с вероятностью 50% мы можем потерять затра $1 .

Случайный доход +3% или -1%

Теперь давайте рассмотрим пример 2 . Есть информация о ежедневном доходе акции В за прошлый год. Свойства дохода:

• принимал одно из четырех значение -4%, -3%, +5%, +6%;
• вероятность каждого из четырех событий одинаковая - 25%;

Случайный доход -3%, -4%, 5% или 6%

Я специально подобрал значения так, чтобы среднее значение было +1%(-4%*25% -3%*25% +5%*25% +6%*25%) как и в первом примере. То есть, если у нас есть акции на 100$, то ожидаемое значение завтра тоже будет 1$ .

Сравнение примера 1(-1%, +3%) и примера 2(-3%, -4%, 5%, 6%)

Хотя ожидаемые значения в двух случаях одинаковы (+1%), уровень риска разный, так как размер убытков может быть выше во втором случае. Это и есть волатильность .

Волатильность, изменчивость (англ. volatility) - статистический финансовый показатель, характеризующий изменчивость цены. Является важнейшим финансовым показателем и понятием в управлении финансовыми рисками, где представляет собой меру риска использования финансового инструмента за заданный промежуток времени.

Или своими словами, волатильность - это сила разброса значений. Чем больше разброс, тем выше волатильность и тем труднее нам делать предположение о цене в будущем. Напрашивается вывод, чем выше волатильность, тем выше риск . Казалось бы, что волатильность это тот показатель, который нам нужен.

Но у волатильности есть один существенный недостаток для управления рисками. Она учитывает как разброс прибылей так и разброс убытков. Например, если цена на акцию резко вырастет, то и волатильность увеличится. Хотя риск, с точки зрения возможных потерь, останется на том же уровне. Эту проблему решит VaR, но перед тем как переходить к VaR давайте разберемся с проблемой оценки убытков.

Проблема 1 . Как описать потенциальные убытки?

Если в первом примере прогноз убытков на завтра был -1% с вероятностью 50% , то во втором ситуация сложнее. Мы можем сказать что:

• с вероятностью 25% мы потеряем 3%;
• с вероятностью 25% мы потеряем 4%;
• c вероятностью 50% мы потеряем более 3%;

Все эти утверждения верны, а ведь у нас только 4 возможных исхода . В реальной жизни количество исходов может быть намного больше. Соответственно увеличится и количество утверждений, которые мы можем сделать о вероятности риска. А это усложняет донесение и анализ информации.

Проблема 2. Экстремальные значения.

Давайте представим, что прошлый год акция принимала значения от -5% до 5%, но в один день убыток был -10%. Если взять количество дней в году за 364 (для простоты забудем о выходных и праздниках), то вероятность повторения убытка в -10% равна 1/364=0.274%. Вероятность 0.274% довольно мала, ее трудно представить, а кто-то может посчитать ее вообще не существенной для рассмотрения. Как быть в этом случае?

В обоих этих случаях к нам на помощь и приходит VaR.

VaR

VaR позволяет оценить убытки с определенной вероятностью. И сделать это можно довольно кратко, чтобы человек мог относительно легко представить размер риска. VaR отвечает на следующий вопрос:

“Какой максимальный убыток я могу ожидать в течение определенного отрезка времени с заданным уровнем вероятности(доверия)”

Например, VaR 100$ c порогом 99% значит:

• с вероятностью 1% мы можем потерять 100$ и более в течении дня;
• с вероятностью 99% мы не потеряем более 100$ в течении дня;

Оба этих высказывания эквивалентны.

VaR состоит из трех компонентов:

• уровень/порог прогноза (обычно 95% или 99%);
• временной интервал прогноза (день, месяц или год);
• возможные потери (количество денег (обычно долларов) или процентах);

Возможность выбрать порог (99% в нашем примере) является очень удобным свойством для многих инвесторов. Это свойство позволяет приблизится к ответу на вопрос, который волнует многих инвесторов “сколько мы можем потерять в течение дня (месяца) в худшем случае? ”.

Существует три метода получения VaR: исторический , ковариационный и метод Монте-Карло .

В этой статье мы рассмотрим исторический метод , так как он требует наименьших знаний в области статистики и, по-моему, самый интуитивный из трех.

Шаги подсчета VaR:

1. Собрать исторические данные о доходе за определенный период (месяц, год);
2. Отсортировать данные по возрастанию;
3. Выбрать порог с которым мы хотим делать прогноз и “отрезать” наихудшее значение зная порог;

Для большей наглядности давайте выполним этот процесс нахождения VaR для реального примера. В качестве примера мы рассмотрим цены на акции Apple в 2015 году.

Шаги:

1. Получить данные о доходности акций в процентах . Скачать данные можно например с yahoo.finance.com. Yahoo предоставляет цены открытия, закрытия и тд. Мы рассмотрим цены закрытия(close*). Обратите внимания что на yahoo даты отсортированы в порядке убывания, так что можно отсортировать в порядке возрастания. Мы преобразуем цены закрытия в прибыль в процентах с предыдущего дня. Например, если цена вчера была 10$, а сегодня 15$, то прибыль в процентах будет (15$-10$)/10$ = 50%;

Преобразование данных из Yahoo и сортировка

2. Отсортировать прибыли по возрастанию (для наглядности я построил гистограмму);

3. Выбрать порог , с которым мы хотим делать прогноз, и “отрезать” наихудшее значение зная порог. У нас 252 рабочих дня. Если мы хотим сделать оценку покрывающую 95% случаев, то мы отбрасываем худшие 5%, вероятность которых мы считаем низкой. 5% от 252 дней это 13 дней (округляем 12.6 до 13). Если посмотреть на график, то видно, что доход 13-ого “худшего деня” был -2.71%. Теперь мы можем сказать что с вероятностью 95% мы не потеряем более 2.71%. Если наши вложения 100$, то с вероятностью 95% мы не потеряем более 2,71$. Это не значит, что мы не можем потерять более 2,71$ , мы говорим о вероятности в 95%. Если этого недостаточно, то можно увеличить порог например до 99%;

* Мы выбираем close цену, а не adj. close, так как adj. close непостоянна и может меняться со временем. Например, если происходят split-ы акций. Наша же цель, чтобы цифры сошлись у тех, кто выполнит этот пример позже.

Завершая пример с данными Apple, привожу еще один интересный график. На графике по горизонтали мы видим диапазоны прибылей, и по вертикале - количество дней, когда прибыль попадала в соответствующий интервал. Этот график очень похож на нормальное распределение . Этот факт нам пригодится в следующие статье где мы рассмотрим два других метода подсчета VaR.

Пример кода

public Double calculateHistoricalVar(List prices, Double confidenceLevel, Double amount) { if (prices.isEmpty()) { return 0d; } List returns = getReturns(prices); Collections.sort(returns); double threshold = (returns.size() * (1 - confidenceLevel)); int intPart = (int) threshold; Double decimalPart = threshold - intPart; Double rawVar = returns.get(intPart); Double interpolatedPart = decimalPart * (returns.get(intPart) - (returns.get(intPart + 1))); return rawVar + interpolatedPart; } private List getReturns(List prices) { List result = new ArrayList<>(prices.size()); for (int i = 1; i < prices.size(); i++) { result.add(prices.get(i) / (prices.get(i - 1)) - 1); } return result; }

Немного о недостатках исторического метода и VaR вообщем:

• Мы прогнозируем будущие, используя исторические данные. Это может быть хрупким предположение. Так как мы делаем предположение, что события из прошлого будут повторяться. Можно пытаться бороться с этим используя разные временные интервалы для подсчета VaR(год, месяц, день). Об этом мы поговорим ниже.
• VaR ничего не говорит, о значениях за пределами порога, например 95%. Мы можем иметь две разных акции А и B с VaR 50$ при пороге 95% и 100 наблюдениях. Пусть 95 лучших наблюдений у А и В одинаковы и равны от -50$ до 45$ с шагом 1$. Но пять худших прибылей А = {-1000$, -800$, -700$, -600$, -500$}, а В = {-100$, -99$, -98$, -97$, -96$}. Очевидно что риск для B выше. Можно пробовать бороться с этим увеличивая порог(до 99%, 99.9%, 99.99% и тд.). Также существуют методы, специально направленные на устранения этих недостатков, например, Conditional VAR, который оценивает убытки, если потери превысили VaR. Но мы не будем рассматривать их в этой статье.

Вопросы которые могут возникнуть при работе с VaR:

• Как выбрать период?
• На это нет определенного ответа, все зависит от вашего инвестиционного горизонта. Банки обычно считают VaR для дней, пенсионные фонды, с другой стороны, часто считают VaR для месяцев.
• Что делать если 95% это не целый номер элемента?
• В нашем примере мы использовали 252 дня и порог 95%. Элемент, который мы отсекаем равняется 252*0.05=12.6. В нашем примере мы просто округли и взяли 13-ый элемент, но если быть точными, то наше значение должно быть где-то посередине. К сожалению, в нашем примере 12-ый и 13-ый элементы равны -2.71%. Поэтому, давайте представим, что 12-ый элементы равен -4%, а 13-ый -3%. Тогда VaR будет находится между -4% и -3%, ближе к -3%. А точнее -3.6%. Здесь к нам на помощь и приходит интерполяция. Формула выглядит так:
  

  b+(a-b)*k , где а-нижнее значение, b-верхнее значение и k-дробная часть (в нашем случае 0.6)

  
  Получается -3% + (-4% + 3%) * 0.6 = -3.6%

Заключение

Красота подхода VaR в том, что он отлично работает и для набора из нескольких акций или комбинации разных ценных бумаг. Например, VaR для набора из облигаций и валют дает нам оценку без особых усилий. А использование других способов, таких как анализ возможных сценариев, сильно усложняется из-за корреляции (связи) между ценными бумагами.

Процедура расчета Value-at-Risk (VaR) по облигациям процесс довольно не простой, особенно если подходить к этому вопросу комплексно, как например расчёт стоимости под риском портфеля облигаций в целом.

Оценку степени риска портфеля облигаций целесообразней проводить посредством расчета показателя процентного риска DV01, но порой, для расчета совокупного показателя риска диверсифицированного портфеля активов, возникает потребность в использовании универсальной её величины, как для долевых финансовых инструментов (акций), так и для долговых (облигаций). В этом случае как раз и прибегают к расчету VaR по облигациям.

Ниже представлен максимально упрощенный комплексный вариант-пример процедуры расчета Value-at-Risk по рублевым облигациям, торгуемым на Московской бирже в среде Excel*:

Схема процесса расчета стоимости под риском (VaR) по облигациям

На первом этапе (см. на схеме <СБОР ДАННЫХ >) требуются рыночные данные, на базе которых будет происходить анализ и непосредственно расчет данных.

В качестве источника рыночных данных, использованы месячные данные, формируемые Московской Биржей по итогам ежедневных торгов . Информация, увы, доступна только на платной основе (по крайне мере, о наличии бесплатных альтернативных вариантов - неизвестно).

Для расчета целесообразно использовать данные минимум за 12 месяцев.

На следующем этапе <БАЗА РЫНОЧНЫХ ДАННЫХ > происходит процедура автоматического объединения, консолидации месячных данных за последний год.

Представленный на схеме независимый процесс <ПОРТФЕЛЬ ДАННЫХ > это возможный к использованию вспомогательный элемент автоматической подгрузки данных о конкретном портфеле облигаций (в представленном ниже примере для скачивания этот процесс не поддерживается, но при желании не составит большого труда организовать автоматическую его подкачку).

Скачать приложения Вы можете здесь:

Приложение « Расчет VaR по облигациям » .

Скачать

Краткая процедура к использованию*:

2. Разархивированные месячные данные поместить в папку:

...\РАСЧЁТ VAR ОБЛИГАЦИЙ\РАСЧЁТ VAR\А. БИРЖА КОТИРОВКИ\ОБЛИГАЦИИ\12 МЕС

4. Запустить файл <РАСЧЕТ VAR ОБЛИГАЦИЙ.xlsm>.

4.1. На листе "Сводный" файла ниже таблицы укажите дату расчета (последний рабочий день скаченных с биржи данных), перечисленные ниже параметры предлагается оставить без изменения (по умолчанию).

4.3. Затем нажмите на кнопку "Сводные таблицы", расположенную в верхнем левом углу на листе "Сводный" файла.

Всё расчет готов!

а) На листе "Service" файла в соответствующей таблице заполните данные о собственном портфеле.

Концепция рисковой стоимости (value at risk -var)

В практике финансового менеджмента всегда существовала потребность в единой, оперативной и общепонятной оценке возможных потерь стоимости портфеля активов на определенный период времени. Показатель рисковой стоимости как раз и отвечает всем этим требованиям. Он был разработан в конце 1980-х гг. и сразу же завоевал признание среди крупнейших участников финансового рынка. Его популярность объяснялась тем, что благодаря известной упрощенности он был доступен для понимания руководителей на всех уровнях управления компанией. Впоследствии показатель рисковой стоимости стал полноценным стандартом информации о риске фирмы, который мог использоваться внутри самой компании, а также указываться в отчетах для инвесторов и регулирующих органов.

Рисковая стоимость (VaR) отражает максимально возможные убытки от изменения стоимости финансового инструмента, портфеля активов, компании и т. д., которое может произойти за данный период времени с заданной вероятностью его появления. Например, когда говорят, что рисковая стоимость на 1 дн. составляет 100 тыс. дол. США с доверительным интервалом 95 % (или вероятностью потерь 5 %), это означает, что потери в течение одного дня, превышающие 100 тыс. дол., могут произойти не более чем в 5 % случаев.

Иными словами, рисковая стоимость -- это размер убытка, который может быть превышен с вероятностью не более х% [не будет превышен с вероятностью (100 --х) %] в течение последующих n дней. Для определения величины рисковой стоимости необходимо знать зависимость между размерами прибылей и убытков и вероятностями их появления; т. е. распределение вероятностей прибылей и убытков в течение выбранного интервала времени. В этом случае по заданному значению вероятности потерь можно однозначно определить размер соответствующего убытка. Однако реальный закон распределения вероятностей в большинстве случаев неизвестен, поэтому в качестве замены приходится использовать другое, хорошо изученное распределение. Типичным приемом является использование нормального распределения вероятностей.

Из определения следует, что ключевые параметры при определении рисковой стоимости -- доверительный интервал и временной горизонт. Поскольку убытки являются следствием колебаний цен на рынке, доверительный интервал служит той границей, которая, по мнению управляющего портфелем, отделяет «нормальные» колебания рынка от экстремальных ценовых всплесков по частоте их проявления. Обычно вероятность потерь устанавливается на уровне 1 %, 2,5 или 5 % (соответствующий доверительный интервал составляет 99 %, 97,5 и 95 %), однако риск-менеджер может выбрать какое-либо иное значение в соответствии со стратегией управления капиталом, которой придерживается данная компания. В частности, в системе RiskMetrics, разработанной банком «J. P. Morgan», используется 5 %-я вероятность. Помимо субъективной оценки, доверительный интервал может быть установлен и объективным методом. Для этого строят график реально наблюдаемого (эмпирического) распределения вероятностей прибылей и убытков и совмещают его с графиком плотности нормального распределения. Точки пересечения «хвостов» эмпирического и нормального распределения и будут задавать искомый доверительный интервал.

Следует учитывать, что с увеличением доверительного интервала показатель рисковой стоимости будет возрастать: очевидно, что потери, случающиеся с вероятностью лишь 1 %, будут выше, чем потери, возникающие с вероятностью 5 %.

Выбор временного горизонта зависит от того, насколько часто производятся сделки с данными активами, а также от их ликвидности. Для финансовых институтов, ведущих активные операции на рынках капитала, типичным периодом расчета является 1 дн., в то время как стратегические инвесторы и нефинансовые компании могут использовать и большие периоды времени. Кроме того, при установлении временного горизонта следует учитывать наличие статистики по распределению прибылей и убытков для желаемого интервала времени. Вместе с удлинением временного горизонта возрастает и показатель рисковой стоимости. Интуитивно понятно, что возможные прибыли или убытки, например, за 5 дн. могут иметь большие масштабы, чем за 1 дн. На практике считают, что за период в n дней величина рисковой стоимости будет приблизительно в n раз больше, чем за 1 дн.

Следует помнить, что концепция рисковой стоимости неявно предполагает, что состав и структура оцениваемого портфеля активов будут оставаться неизменными на протяжении всего временного горизонта. Такое допущение вряд ли оправдано для сравнительно больших интервалов времени, поэтому при каждом обновлении портфеля необходимо корректировать величину рисковой стоимости.

Показатель рисковой стоимости, конечно, не является единственным и универсальным инструментом оценки рисков. Как правило, расчет рисковой стоимости сопровождается детальным анализом нескольких возможных сценариев, моделированием эмпирических распределений вероятностей и тестированием портфеля на устойчивость к изменениям основных параметров. Величина рисковой стоимости, как обобщающая оценка рыночного риска, нужна в первую очередь для принятия оперативных решений высшим руководством компании.

Для расчета показателя рисковой стоимости используются три различных экономико-математических метода: аналитический, метод исторического моделирования и метод статистических испытаний Монте-Карло. Первый из них является параметрическим и позволяет получать оценки в замкнутом виде, а два других представляют своего рода математический эксперимент. Начальным этапом и необходимым условием реализации этих методов является определение так называемых «рыночных факторов риска», т. е. основных цен и процентных ставок, которые оказывают влияние на стоимость портфеля. Выделение ограниченного набора рыночных факторов дает возможность представить цену финансового инструмента как функцию этих факторов и тем самым решить главную проблему количественного описания стоимости портфеля.

Определение рыночных факторов предполагает «разложение» входящих в портфель финансовых инструментов на более простые, непосредственно связанные с рыночными факторами риска, и их дальнейшее рассмотрение как «субпортфелей», или позиций, состоящих из таких первичных инструментов. Например, цена форвардного контракта на поставку одной валюты в обмен на другую зависит от трех рыночных факторов: обменного курса «спот» одной валюты к другой и двух процентных ставок по каждой из валют контракта. Для всех инструментов, входящих в портфель, должны быть получены аналитические зависимости, выражающие их текущую стоимость через рыночные факторы риска.

В некоторых случаях, когда точная формула стоимости неизвестна, для оценки стоимости инструмента применяют численные методы. Это наиболее сложный этап, поскольку для крупного финансового института количество таких факторов может измеряться сотнями. Дальнейшие этапы включают определение вида и оценку параметров статистического распределения ожидаемых в будущем значений рыночных факторов, использование полученных значений и аналитических зависимостей для выявления потенциальных изменений стоимостей различных позиций, составляющих портфель, и последующее ранжирование и суммирование изменений стоимости по всем позициям для оценки ожидаемых изменений стоимости всего портфеля.

Value at Risk — одна из самых распространенных форм измерения финансовых рисков. Общепринято обозначается «VaR».

Еще его часто называют «16:15″ , такое название он получил потому, что 16:15 - это время, в которое он якобы должен лежать на столе главы правления банка JPMorgan . (В этом банке данный показатель был впервые введен с целью повышения эффективности работы с рисками )

По сути, VaR отражает размер возможного убытка, который не будет превышен в течение некоторого периода времени с некоторой вероятностью (которую еще называют «уровнем допустимого риска «). Т.е. наибольший ожидаемый убыток, который с заданной вероятностью может получить инвестор в течение n дней

Ключевыми параметрами VaR является:

1. Временной горизонт - период времени, на который производится расчет риска. (По базельским документам - 10 дней, по методике Risk Metrics - 1 день. Чаще распространен расчет с временным горизонтом 1 день. 10 дней используется для расчета величины капитала, покрывающего возможные убытки.)
2. Уровень допустимого риска - вероятность того, что потери не превысят определенной величины (По базельским документам используется величина 99%, в системе RiskMetrics - 95%).
3. Базовая валюта - валюта, в которой рассчитывается VaR

Т.е. VaR, равный X при временном горизонте n дней, уровне допустимого риска 95% и базовой валюте - доллар США, будет означать, что с вероятностью 95% убытки не превысят X долларов в течение n дней .

• Cтандартом для брокерско-дилерских отчетов по операциям с внебиржевыми производными инструментами, передаваемым в Комиссию по биржам и ценным бумагам США, являются 2-недельный период и 99%-вероятность.
• The Bank of International Settlements для оценки достаточности банковского капитала установил вероятность на уровне 99% и период, равный 10 дням.
• JP Morgan опубликовывает свои дневные значения VaR при 95% доверительном уровне.
• Согласно исследованию New York University Stern School of Business, около 60% пенсионных фондов США используют в своей работе VaR

Пример расчета VaR в Excel:

Возьмем историю цен интересующего нас актива, например, обыкновенные акции СберБанка. В примере я взял EOD (EndOfDay) цены за 2010 год.

Рассчитаем стандартное отклонение полученной доходности (формула расчета стандартного отклонения по выборке для Microsoft Excel будет выглядеть как =СТАНДОТКЛОН.В(C3:C249) ):

Приняв уровень допустимого риска 99%, рассчитаем обратное нормальное распределение (квантиль) для вероятности 1% (формула для Excel в нашем случае будет выглядеть как =НОРМ.ОБР(1%; СРЗНАЧ(C3:C249); C250) ):

Ну, и теперь рассчитаем непосредственно значение самого VaR. Для этого из текущей стоимости актива вычтем расчетную, полученную путем умножения на квантиль. Следовательно, для Excel формула примет вид: =B249-(B249*(C251+1))

Итого, мы получили расчетное значение VaR = 5,25 рублей. С учетом нашего временного горизонта и степени допустимого риска, это означает, что акции СберБанка в течение следующего дня не подешевеют более чем на 5,25 рублей, с вероятностью 99%!