РИКЗа появилась спецификация по каждому предмету ЦТ на 2016 год. В ней разъясняется, какой будет структура теста, сколько в тесте заданий каждого уровня сложности и какой программный материал будет в них использоваться.
Фото носит иллюстративный характер. Фото: Вадим Замировский, TUT.BY
Так, в этом году тест по русскому языку будет состоять из 40 заданий: 30 — в части, А и 10 — в части В. Больше всего заданий будет на орфографию — 13, на пунктуацию — 9 заданий, меньше всего на фонетику — одно. На первый уровень сложности будет два задания, на второй — четыре задания, на третий и четвертый — по 14 заданий и на пятый, самый сложный, — шесть заданий. На выполнение теста отводится 120 минут.
В тесте по математике в этом году 8 заданий по геометрии (больше, чем в прошлом году), 11 — на уравнения и неравенства, по четыре задания на числа и вычисления и функции. На первом уровне будет всего два задания, на втором — восемь, и больше всего заданий будет на третьем уровне — 14. На четвертом и пятом уровнях — 4 и 2 задания соответственно.
Александр Николаевич , репетитор по математике с 2007 года, чьи ученики — победители олимпиад, лицеисты БГУ и студенты БГУ, считает, что по спецификации практически невозможно судить о сложности теста.
— Может быть, заданий на определенные темы в этом году больше. Но, на мой взгляд, эта информация не сильно влияет на подготовку абитуриента. Дело не в количестве заданий. В одном разделе теста по математике могут быть достаточно сильные задания, а пять или четыре — не очень важно. Не видя самих задач, я бы воздержался от комментариев, что информация о спецификации как-то скажется на обучении абитуриентов.
Репетитор по русскому языку с 15-летним стажем Людмила Григорьевна также не считает, что спецификация как-то влияет на процесс подготовки к ЦТ: «Правила остаются прежними, и их просто нужно знать. Какова пропорция заданий, не столь важно ».
Напомним, в Беларуси уже утвержден . Первый тест абитуриенты сдают 13 июня по белорусскому языку и 14 июня — по русскому языку.
25 июня — иностранный язык (английский, немецкий, французский, испанский, китайский);
Начало каждого из тестов — в 11.00. Дата резервного дня — 5 июля (вторник). ЦТ в этот день будет проходить в Белорусском государственном университете, записаться на него можно с 28 июня по 1 июля.
Оставляйте вопросы и комментарии внизу под статьей
Вариант 1
Часть В
Задача В1. Для покраски стен общей площадью 175 м 2 планируется закупка краски. Объем и стоимость банок с краской приведены в таблице.
Какую минимальную сумму (в рублях) потратят на покупку необходимого количества краски, если ее расход составляет 0,2 л/м 2 ?
Решение.
Так как на 1 м 2 уходит 0,2 л краски, то на 175 м 2 потребуется объем краски, равный 175·0.2 = 35 л.
Таким образом, задача состоит в том, чтобы найти минимальную цену закупки 35 или более литров краски.
Определим стоимость 1 л краски в каждой из банок.
Цена литра в банке объемом 2.5 л равна: 75 000:2.5 = 30 000 руб., а цена литра в банке объемом 10 л равна 270 000:10 = 2 700 руб.
Так как в больших банках краска дешевле, то целесообразно набрать 35 л краски, используя только большие банки. Однако точно 35 л с помощью больших банок не наберешь, так как каждая из банок имеет объем 10 л. Здесь есть два варианта:
1. Покупаем 4 банки краски по 10 л. В итоге, имеем 40 л краски, что превышает нужные нам 35 литров. Цена краски в этом случае: 270 000·4 = 1 080 000 руб.
2. Покупаем 3 банки краски по 10 л и 2 банки краски по 2.5 л. В итоге у нас точно 35 л краски. Цена краски в этом случае: 3·270 000 + 2·75 000 = .960 000 руб.
Так как второй вариант дешевле первого, то минимальная сумма, необходимая для покупки нужного количества краски, равна 960 000 руб.
Ответ: 960 000.
Есть вопросы или комментарии к решению задачи? Задай их автору, Антону Лебедеву .
Задача В2. Найдите сумму корней (корень, е cли он единственный) уравнения
Решение.
Сначала заметим, что возведение обеих частей уравнения в квадрат – не очень хорошая идея в данном задании, так как в результате получим уравнение 4 степени, которое в общем случае не решается
В таких ситуациях следует искать обходные пути решения.
Для начала определим ОДЗ уравнения:
Полученное уравнение эквивалентно системе:
Замечание. Первое неравенство системы необходимо для того, чтобы избежать появления лишних корней: если мы просто возведем в квадрат обе части, то к корням уравнения добавятся еще и корни уравнения .
Итак, решаем уравнение из записанной системы:
Очевидно, неравенству из системы удовлетворяет только второй из найденных корней.
Таким образом, исходное уравнение имеет лишь один корень, равный 9.
Ответ: 9.
Задача В3. В равнобедренную трапецию, площадь которой равна , вписана окружность. Сумма двух углов трапеции равна 60°. Найдите периметр трапеции.
Решение.
Пусть ABCD – заданная трапеция.
Так как трапеция равнобедренная, то углы при основании трапеции равны:
.
По условию, сумма двух углов трапеции равна 60° . Очевидно, речь идет о двух острых углах, так как 60° < 90° , значит, в наших обозначениях речь идет как раз об углах BAD и CDA. Так как они равны, а их сумма равна 60° , то каждый из них равен 30° .
Как известно, не в каждую трапецию (и не в каждую равнобедренную трапецию) можно вписать окружность, значит, тот факт, что в нашу трапецию вписана окружность, дает нам некоторую дополнительную информацию. Окружность можно вписать только в такую трапецию, у которой сумма оснований равна сумме боковых сторон. В нашем случае должно быть:
Так как трапеция равнобедренная, то AB = CD . Обозначим боковые стороны через x .
Тогда получаем
где MN – средняя линия трапеции.
Высоту трапеции ВК также выразим через x . Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник ABK.
.
Тогда сумма боковых сторон равна 2x = 17, а периметр трапеции равен 34 (сумма оснований равна сумме боковых сторон).
Ответ: 34.
Задача В4. Пусть (x, y) - решение системы уравнений
Найдите значение выражения 5y - x .
Решение.
Преобразуем второе уравнение системы:
С учетом первого уравнения получаем:
Вычисляем значение выражения:
Ответ: 23.
Задача В5. Найдите значение выражения
Решение.
Замечание. Наиболее частые проблемы абитуриентов при решении таких примеров - это неумение избавляться от иррациональности в знаменателе путем домножения на сопряженное и незнание того, что порядок вычисления последовательных корней не имеет значения (например, ).
Ответ: -22.
Задача В6. Найдите сумму корней уравнения.
Решение.
Перед началом решения произносим магическую фразу: «Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю». После этого уравнение чудесным образом распадается на совокупность:
Первое уравнение совокупности имеет единственный корень x = 81.
Преобразуем второе уравнение:
Дальнейшее решение проводим с помощью замены переменной:
Получаем
(корни найдены с помощью обратной теоремы Виета).
Отрицательный корень нам не подходит, поэтому получаем
Значит, исходное уравнение имеет два корня: 1 и 81.
Их сумма равна 82.
Ответ: 82.
Задача В7. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если длина биссектрисы ее основания равна и плоский угол при вершине равен .
Решение.
Пусть SABC – правильная треугольная пирамида.
Треугольник ABC – основание пирамиды, причем этот треугольник является правильным.
Биссектриса и является также высотой треугольника АВС, поэтому
Площадь боковой поверхности правильной пирамид равна S = SK · p ,
где
- полупериметр основания;
Апофема.
Тогда
S = 12·5 = 60 .
Ответ: 60.
Задача В8. Найдите сумму наименьшего и наибольшего целых решений неравенства
Решение.
Учитывая то, что логарифм – возрастающая функция, если его основание больше 1 и убывающая, если его основание меньше 1, а также то, что подлогарифменное выражение должно быть положительным, получаем:
Наименьшим целым решением является число -5, а наибольшим – число 65. Их сумма равна 60.
Ответ: 60.
Задача В9. Найдите (в градусах) сумму корней уравнения 10sin5x · cos5x + 5sin10x · co18x = 0 на промежутке (110° ; 170° ).
Решение.
С помощь формулы двойного аргумента преобразуем первое слагаемой левой части:
Так как из всех найденных корней нужно выбрать те из них, которые лежат на промежутке (110 ° ; 170 ° ) , то
Выписываем соответствующие корни:
126 °; 144 °; 162 °
130 °; 150 °.
Сумма найденных решений равна 712.
Ответ: 712.
Задача В10. Найдите произведение наименьшего и наибольшего целых решений неравенства
Решение.
Преобразуем исходное неравенство:
Полученное в результате неравенство можно решить, например, методом интервалов. Для этого найдем сначала корни соответствующего уравнения:
Найденные корни нанесем на числовую ось. Эти корни разбивают выражение (|x + 5| - 4)(|x - 3| - 1) на интервалы знакопостоянства. Определим знак записанного выражения на каждом из интервалов, подставив любую точку из заданного интервала в выражение. Например для определения знака выражения на крайнем правом интервале возьмем точку x = 5 и получим, что значение выражения в этой точке положительно, а значит, выражение будет положительным и на всем интервале.
Теперь можем записать решение неравенства (соответствующая область заштрихована на рисунке):
.
Наименьшее целое число из этой области: x min = -8, а наибольшее целое x max = 3. Произведение этих чисел -8· 3 = -24. Это число и следует записать в ответ.
Ответ: -24.
Задача В11. Точка А движется по периметру треугольника KMP. Точки K 1 , M 1, P 1 лежат на медианах треугольника KMP и делят их в отношении 11:3, считая от вершин. По периметру треугольника K 1 M 1 P 1 движется точка В со скоростью, в пять раз большей, чем скорость точки А. Сколько раз точка В обойдет по периметру треугольник K 1 M 1 P 1 за то время, за которое точка А два раза обойдет по периметру треугольник KMP.
Решение.
Сделаем чертеж к задаче. О – точка пересечения медиан исходного треугольника.
Интуитивно понятно, что треугольники K M P и K 1 M 1 P 1 должны быть подобны. Однако интуиция лишь подсказывает путь решения задачи, поэтому подобие указанных треугольников нужно еще доказать.
Для доказательства подобия рассмотрим треугольники KOM и K 1 OM 1 .
MM’ – медиана треугольника KMP, поэтому , так как медианы треугольника делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины.
Из условия задачи следует, что 
, так как точка M
1
делит медианту MM’
в отношении 11 к 3, считая от вершины.
Тогда
Отношение
.
Аналогично можно показать, что
Кроме того, 
как вертикальные.
Значит, треугольники KOM и K 1 OM 1 подобны по двум сторонам и углу между ними с коэффициентом подобия .
Тогда
Аналогично
.
Это значит, что треугольники K M P и K 1 M 1 P 1 подобны с коэффициентом подобия и периметр треугольника K M P в раз больше периметра треугольника K 1 M 1 P 1 .
Так как точка В движется со скоростью в 5 раз большей скорости точки А по треугольнику, периметр которого в раз меньше, чем периметр треугольника KMР, то за время одного оборота точки А, точка В делает оборотов, а за время двух оборотов точки А точка В сделает 56 оборотов.
Ответ: 56.
Задача В12. Объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равен 1728. Точка Р лежит на боковом ребре CC 1 так, что CP :PC 1 = 2:1. Через точку Р, вершину D и середину бокового ребра AA 1 проведена секущая плоскость, которая делит прямоугольны параллелепипед на две части. Найти объем меньшей из частей.
Решение.
Изобразим параллелепипед на чертеже и построим описанное сечение PDKEF. K – середина ребра AA 1 .
Изобразим на чертеже линии, по которым плоскость сечения пересекает плоскости трех граней параллелепипеда. Точки, в которых плоскость сечения пересекает прямые BA, BC и BB 1 обозначим через Z , Q , S .
Тело SZBQ - пирамида, в основании которой лежит прямоугольный треугольник ZBQ. Эта пирамида включает в себя объем нижней части параллелепипеда и объемы трех пирамидок SEB 1 F , QPCD , ZKAD .
Для нахождения объема нижней части параллелепипеда найдем объемы указанных пирамидок.
Для удобства вычислений обозначим стороны параллелепипеда через x , y и z , тогда объем параллелепипеда V = xyz = 1728.
Кроме того,
.
Задача состоит в выражении размеров указанных четырех пирамид через x , y и z .
Треугольники FC 1 P и DAK подобны по двум углам (все стороны этих треугольников попарно параллельны).
Тогда
.
Треугольники PCD и KA 1 E также подобны, поэтому
.
Из подобия треугольников SB 1 F и PC1 F следует:
.
Объем пирамиды SEB 1 F равен:
Пирамида QPCD подобна пирамиде SEB 1 F с коэффициентом подобия:
.
Тогда объем пирамиды QPCD равен:
Аналогично пирамида ZKAD подобна пирамиде SEB 1 F с коэффициентом подобия
Тогда объем пирамиды ZKAD равен:
Наконец, пирамида SZBQ подобна пирамиде SEB 1 F с коэффициентом подобия
.
Тогда объем пирамиды SZBQ равен:
Объем нижней части параллелепипеда:
Тогда объем верхней части:
Так как нам нужен меньший объем, то правильный ответ 724.
Ответ: 724.
Абитуриенты Лицея БГУ могут ознакомиться с вариантами вступительных испытаний 2019 года. Назначение этих вариантов заключается в том, чтобы дать возможность любому участнику вступительных испытаний в Лицей БГУ составить представление о структуре вариантов экзаменов, типах заданий и уровнях их сложности. При ознакомлении с вариантами 2019 года следует иметь в виду, что задания, включенные в них, не охватывают всех элементов содержания, которые будут проверяться на вступительных испытаниях в Лицей БГУ в 2020 году. Помимо этого задания вступительных испытаний 2020 года будут составлены в соответствии с новыми учебными программами. Подробнее о структуре вступительных испытаний 2020 года вы можете узнать изучив спецификации и решая , размещённые на СДО Лицея БГУ.
Выполнение вариантов вступительных испытаний 2019 года позволит тестируемым выработать стратегию подготовки к поступлению в Лицей БГУ, систематизировать изученный материал, предупредить возможные ошибки, а также закрепить знания и эффективно подготовиться к вступительным испытаниям 2020 года.
