Существует два принципиально разных способа начисления процентов: декурсивный и антисипативный.
При декурсивном способе проценты начисляются в конце каждого интервала начисления, исходя из суммы капитала, предоставленного на начало временного интервала. Декурсивная процентная ставка (i ) называется ссудным процентом и определяется по формуле:
i = I / PV,
где I PV – сумма денег на начало временного интервала.
При антисипативном способе начисления процентов они начисляются в начале каждого интервала начисления, исходя из наращенной суммы денег на конец интервала (включающей капитал и проценты). Антисипативная процентная ставка (d ) называется учетной ставкой и определяется по формуле:
d = I / FV ,
где I – процентный доход за определенный временной интервал; FV – наращенная сумма денег на конец временного интервала.
На практике наибольшее распространение получил декурсивный способ начисления процентов. Антисипативный способ применяется в операциях учета векселей и других денежных обязательств. Сумма денег на конец интервала начисления считается величиной получаемого кредита. Так как проценты начисляются в начале временного интервала, то заемщик получает сумму кредита за вычетом процентов. Такая операция называется дисконтированием по учетной ставке или банковским учетом.
Декурсивный и антисипативный способы начисления процентов
Дисконт – это разница между размером кредита и непосредственно выдаваемой суммой, то есть доход, полученный банком по учетной ставке.
Как при декурсивном, так и при антисипативном способах могут использоваться схемы начисления простых и сложных процентов. При использовании схемы простых процентов они начисляются на сумму первоначального вклада. Сложный процент предполагает капитализацию процентов, то есть начисление «процентов на проценты».
С точки зрения кредитора, при проведении финансовых операций краткосрочного характера (менее года) более выгодна схема простых процентов, а при долгосрочных операциях (более года) – схема сложных процентов. При долгосрочных операциях с дробным числом лет выгодна так называемая смешанная схема, когда в течение целого числа лет начисляются сложные проценты, а в течение дробной части года – простые проценты.
В табл. систематизированы формулы определения наращенной суммы денег, то есть будущей стоимости вклада, при декурсивном и антисипативном способах начисления процентов. При этом использованы следующие обозначения:
FV – будущая (наращенная) сумма денег;
PV – настоящая (текущая) сумма денег;
i – ставка ссудного процента;
d – учетная ставка;
n – число лет в интервале начисления процентов;
m – число внутригодовых начислений процентов;
t – продолжительность интервала начисления процентов при краткосрочных операциях, дней;
T – продолжительность года, дней;
w – целое число лет в интервале начисления;
f – дробная часть года в интервале начисления.
Таблица
Формулы расчета наращенной суммы денег при различных условиях начисления процентов
| Условия начисления процентов | Способ начисления процентов | |
| Декурсивный | Антисипативный | |
| простой процент, целое число лет в интервале начисления | FV = PV´ (1 + in) | FV = PV / (1 – dn) |
| сложный процент, целое число лет в интервале начисления | FV = PV´ (1 + i)n | FV = PV / (1 – d)n |
| простой процент, срок операции менее года |  |
|
| смешанная схема начисления процентов при дробном числе лет в интервале начисления | FV = PV´ (1 + i)w (1 + if) | FV = PV / |
| сложный процент, внутригодовые начисления с целым числом лет в интервале начисления процентов | FV = PV´(1 +i/m)nm | FV = PV / (1 –d/m)nm |
Таблица 1
Способы начисления процентов
Декурсивный способ
Антисипативный способ
Проценты начисляются в конце срока исходя из величины предоставляемой суммы, и возврату подлежит сумма долга вместе с процентами.
Проценты приходуются авансом (выплачиваются в начале срока), при этом должнику выдается сумма, уменьшенная на их величину, а возврату в конце срока подлежит лишь исходная ссуда. Процентный доход, выплачиваемый таким образом, называется дисконтом (т.е. скидкой с суммы ссуды).
Процентная ставка,
ставка ссудных (простых) процентов
Учетная ставка,
ставка дисконта
Процентнаяставка (англ. interestrate ) - это сумма, указанная в процентном выражении к сумме кредита, которую платит получатель кредита за пользование им в расчете на определенный период (месяц, квартал, год).
Учётная ставка (англ. discountrate ) - это сумма, указанная в процентном выражении к величине денежного обязательства (векселя), которую взимает приобретатель обязательства. Фактически, учётная ставка - это цена, взимаемая за приобретение обязательства до наступления срока уплаты.
Начисление простых декурсивных и антисипативных процентов
(1 + ni) – множитель наращения декурсивных процентов
1 / (1 – nd) – множитель наращения антисипативных процентов
Отличие способов на практике :
Например, ссуда в размере 1 млн. рублей выдается сроком на 0,5 года под 30% годовых.
В случае декурсивных процентов наращенная сумма (Si) будет равна 1,15 млн. рублей (1 * (1 + 0,5 * 0,3), а сумма начисленных процентов (I) – 0,15 млн. рублей (1,15 – 1).
Если же начислять проценты по антисипативному методу, то наращенная величина (Sd) составит 1,176 млн. рублей (1 * (1 / (1 – 0,5 * 0,3), а сумма процентов (D) 0,176 млн.
Декурсивное начисление процентов
Наращение по антисипативному методу всегда происходит более быстрыми темпами, чем при использовании процентной ставки.
Поэтому банки используют этот метод для начисления процентов по выдаваемым ими ссудам в периоды высокой инфляции. Однако у него есть существенный недостаток: при n = 1 / d, знаменатель дроби обращается в нуль и выражение теряет смысл.
Подготовлено по материалам сайтов:
http://ru.wikipedia.org . См. статьи «Процентная ставка» и «Учетная ставка».
http://www.aup.ru/books/m182/ –М.А.Масыч. Финансовые и коммерческие расчеты на ЭВМ . Конспект лекций.Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2005.
Начисление процентов, как правило, производится дискретно, т.е. за фиксированные одинаковые интервалы времени, которые носят название «период начисления ». Период начисления – это отрезок времени между двумя следующими друг за другом процедурами взимания процентов. Обычные или декурсивные (postnumerando) проценты начисляются в конце периода. Антисипативный (prenumerando) метод расчета подразумевает начисление процентов в начале периода.
Предварительный метод начисления процента (метод пренумерандо или антисипативный метод) – способ расчета платежей, при котором проценты начисляются в начале расчет-ного периода на сумму погашения долга в соответствии с учетной ставкой (d). Такой способ начисления процентов называется антисипативным (предварительным).
Вообще, антисипативное наращение используется, как правило, при учете долговых обязательств и при выдаче ссуд, а также в периоды вы-сокой инфляции.
Последующий метод начисления процента (метод постнумерандо или декурсивный метод) – способ расчета платежей, при котором происходит суммирование первоначаль-ного капитала и процентного дохода (в соответствии с процент-ной ставкой)причем начисление процентов осуществляется в конце расчетного периода. Ставку i иногда называют ссудным процентом.
В качестве единицы периода времени в финансовых расчетах принят год, однако это не исключает использования периода менее года: полугодие, квартал, месяц, день, час.
Период времени от начала финансовой операции до ее окончании (рисунок 1.3) называется сроком финансовой операции .
Если, например, внести в банк 4 тыс.
Декурсивный и антисипативный способы
руб. на полгода под 10 % годовых, то через полгода можно получить свои 4 тыс. руб. вместе с 0,2 тыс. руб., т.е. всего 4,2 тыс. руб. (декурсивное начисление). Если же обратиться в банк за – ссудой в 4 тыс. руб. на полгода под 10 %, то банк удержит процен-ты за весь срок ссуды (0,2 тыс. руб.) сразу, т.е. будет выдано на самом деле 3,8 тыс. руб., а через полгода банк получит 4 тыс. руб. Следовательно, банк получит 3,8 тыс. руб. с процентами на эту сумму (антисипативное начисление).
Проценты – доход от предоставления капитала в долг в различных формах (ссуды, кредиты и т.д.), либо от инвестиций производственного или фин. характера.
Процентная ставка – это величина, характеризующая интенсивность начисления процента.
В настоящее время существует два способа определения и начисления процентов:
Декурсивный способ. Проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется исходя из величины предоставленного капитала. Соответственно декурсивная процентная ставка (процент) представляет собой выраженное в процентах отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода к сумме, имеющейся на начало данного интервала.
Антисипативный (предварительный) способ. Предварительный процент начисляется в начале каждого интервала начисления. Сумма процентных денег определяется исходя из наращенной суммы. Процентной ставкой будет выраженное в процентах отношение суммы дохода, выплаченного за определенный интервал к величине наращенной суммы, полученной по прошествии этого интервала.
Процентная ставка показывает степень интенсивности изменения стоимости денег во времени. Абсолютная величина этого изменения называется процентом, измеряется в денежных единицах (например, рублях) и обозначается I. Если обозначить будущую сумму S, а современную (или первоначальную) P, то I = S – P. Процентная ставка i является относительной величиной, измеряется в десятичных дробях или %, и определяется делением процентов на первоначальную сумму:
Кроме процентной существует учетная ставка d (другое название – ставка дисконта), величина которой определяется по формуле:
где D – сумма дисконта.
Сравнивая формулы (1) и (2) можно заметить, что сумма процентов I и величина дисконта D определяются одинаковым образом – как разница между будущей и современной стоимостями. Однако, смысл, вкладываемый в эти термины неодинаков. если в первом случае речь идет о приросте текущей стоимости, то во втором определяется снижение будущей стоимости, “скидка” с ее величины. Основной областью применения учетной ставки является дисконтирование, процесс, обратный по отношению к начислению процентов. При помощи рассмотренных выше ставок могут начисляться как простые так и сложные проценты. При начислении простых процентов наращение первоначальной суммы происходит в арифметической прогрессии, а при начислении сложных процентов – в геометрической. Начисление простых декурсивных и антисипативных процентов производится по различным формулам:
декурсивные проценты: (3)
антисипативные проценты: , (4)
где n – продолжительность ссуды, измеренная в годах.
Однако продолжительность ссуды n необязательно должна равняться году или целому числу лет. Простые проценты чаще всего используются при краткосрочных операциях. В этом случае возникает проблема определения длительности ссуды и продолжительности года в днях. Если обозначить продолжительность года в днях буквой K (этот показатель называется временная база), а количество дней пользования ссудой t, то использованное в формулах (3) и (4) обозначение количества полных лет n можно будет выразить как t/K. Подставив это выражение в (3) и (4), получим:
для декурсивных процентов: (6)
для антисипативных процентов: , (7)
Наиболее часто встречаются следующие комбинации временной базы и длительности ссуды (цифры в скобках обозначают соответственно величину t и K):
— Точные проценты с точным числом дней (365/365).
— Обыкновенные (коммерческие) проценты с точной длительностью ссуды (365/360).
— Обыкновенные (коммерческие) проценты с приближенной длительностью ссуды (360/360).
Обратной задачей по отношению к начислению процентов является расчет современной стоимости будущих денежных поступлений (платежей) или дисконтирование. В ходе дисконтирования по известной будущей стоимости S и заданным значениям процентной (учетной) ставки и длительности операции находится первоначальная (современная, приведенная или текущая) стоимость P. В зависимости от того, какая именно ставка – простая процентная или простая учетная – применяется для дисконтирования, различают два его вида: математическое дисконтирование и банковский учет.
Метод банковского учета получил свое название от одноименной финансовой операции, в ходе которой коммерческий банк выкупает у владельца (учитывает) простой или переводный вексель по цене ниже номинала до истечения означенного на этом документе срока его погашения.
Декурсивный и антисипативный способы начисления простых и сложных процентов
Разница между номиналом и выкупной ценой образует прибыль банка от этой операции и называется дисконт (D). Для определения размера выкупной цены (а следовательно, и суммы дисконта) применяется дисконтирование по методу банковского учета. При этом используется простая учетная ставка d. Выкупная цена (современная стоимость) векселя определяется по формуле:
где t – срок, остающийся до погашения векселя, в днях. Второй сомножитель этого выражения (1 – (t / k) * d) называется дисконтным множителем банковского учета по простым процентам.
При математическом дисконтировании используется простая процентная ставка i. Расчеты выполняются по формуле:
Выражение 1 / (1 + (t / k) * i) называется дисконтным множителем математического дисконтирования по простым процентам.
Основной областью применения простых процентной и учетной ставок являются краткосрочные финансовые операции, длительность которых менее 1 года.
Вычисления с простыми ставками не учитывают возможность реинвестирования начисленных процентов, потому что наращение и дисконтирование производятся относительно неизменной исходной суммы P или S. В отличие от них сложные ставки процентов учитывают возможность реинвестирования процентов, так как в этом случае наращение производится по формуле не арифметической, а геометрической прогрессии, первым членом которой является начальная сумма P, а знаменатель равен (1 + i). Наращенная стоимость (последний член прогрессии) находится по формуле:
(10), где (1 + i) n – множитель наращения декурсивных сложных процентов.
Сама по себе сложная процентная ставка i ничем не отличается от простой и рассчитывается по такой же формуле (1). Сложная учетная ставка определяется по формуле (2). Так же как и в случае простых процентов возможно применение сложной учетной ставки для начисления процентов (антисипативный метод):
, (11) где 1 / (1 – d)^n – множитель наращения сложных антисипативных процентов.
Важной особенностью сложных процентов является зависимость конечного результата от количества начислений в течение года.
В финансовых расчетах номинальную сложную процентную ставку принято обозначать буквой j. Формула наращения по сложным процентам при начислении их m раз в году имеет вид:
При начислении антисипативных сложных процентов, номинальная учетная ставка обозначается буквой f, а формула наращения принимает вид:
Выражение 1 / (1 – f / m)^mn множитель наращения по номинальной учетной ставке.
Дисконтирование по сложным процентам также может выполняться двумя способами – математическое дисконтирование и банковский учет. Последний менее выгоден для кредитора, чем учет по простой учетной ставке, поэтому используется крайне редко. В случае однократного начисления процентов его формула имеет вид:
где (1 –d)n – дисконтный множитель банковского учета по сложной учетной ставке.
при m > 1 получаем
, (16)где f – номинальная сложная учетная ставка,
(1 – f / m)mn – дисконтный множитель банковского учета по сложной номинальной учетной ставке.
Значительно более широкое распространение имеет математическое дисконтирование по сложной процентной ставке i. Для m = 1 получаем
, (17) где 1 / (1 + i)n – дисконтный множитель математического дисконтирования по сложной процентной ставке.
При неоднократном начислении процентов в течение года формула математического дисконтирования принимает вид:
, (18) где j –номинальная сложная процентная ставка,
1 / (1 + j / m)mn – дисконтный множитель математического дисконтирования по сложной номинальной процентной ставке.
В основе любой кредитной операции, т. е. передачи денег в долг заемщику от кредитора, лежит стремление получить доход. Абсолютная величина дохода, получаемого кредитором за передачу денег в долг, называется процентными деньгами или процентами. Происхождение этого названия связано с тем, что величина платы за кредит определяется обычно как соответствующий процент (в математическом смысле) от суммы кредита.
Плата за кредит может взиматься как в конце срока кредита, так и в его начале (авансовый процентный доход). В первом случае проценты начисляются в конце срока исходя из величины предоставляемой суммы, и возврату подлежит сумма долга вместе с процентами. Такой способ начисления процентов называется декурсивным. Во втором случае процентный доход приходуется авансом (выплачивается в начале срока), при этом должнику выдается сумма, уменьшенная на его величину, а возврату в конце срока подлежит лишь исходная ссуда. Процентный доход, выплачиваемый таким образом, называется дисконтом (т. е. скидкой с суммы ссуды), а способ начисления процентов - антисипативным.
В мировой практике декурсивный способ начисления процентов получил большее распространение, поэтому термин "декурсивный" обычно опускают, говоря просто о проценте или о ссудном проценте. При использовании же антисипативных процентов используют полное наименование.
Виды процентных ставок
Рассмотрим сначала декурсивный способ, когда проценты начисляются в конце срока кредита. С количественной стороны кредитная операция характеризуется следующим основным соотношением:
где Р - первоначальная сумма (сумма кредита); I - процентный доход - сумма платы за кредит; S - сумма, подлежащая возврату (полная стоимость кредита).
Сумма платы за кредит I обычно определяется в виде процента от суммы самого кредита - i T . Это отношение называется ставкой процентов, точнее, ставкой процентов за период Т:
(1.1.2)
Временной период, в конце которого приходуется процентный доход, называют еще периодом начисления процентов (часто встречается термин "период конверсии"). Процентная ставка относится ко всему периоду действия кредитного соглашения.
Поскольку сроки кредитов меняются в широком диапазоне (от нескольких дней до десятков лет), то для сравнения условий различных кредитов процентную ставку задают по отношению к некоторому базовому периоду. Наиболее распространен годовой базовый период - в этом случае говорят о годовой процентной ставке. Если период конверсии совпадает с базовым, то годовая процентная ставка совпадает с фактической (1.1.2). Если же срок сделки имеет другую длительность, то годовая процентная ставка, служащая основой для определения процентной ставки за период (фактической процентной ставки), называется номинальной. Процентная ставка за период вычисляется по формуле
где i - номинальная годовая процентная ставка; Т - срок действия соглашения, по истечении которого кредит должен быть возвращен вместе с процентами.
Если период конверсии укладывается целое число раз в году, то ставка за период вычисляется по формуле
где Т = 1/ m ; m - число периодов начисления процентов в году, или частота начисления процентов.
Закон наращения по простой процентной ставке. Дисконтирование; будущая и текущая стоимость денег
Процентный доход по закону простых процентов вычисляется исходя из того, что номинальная процентная ставка не зависит от периода начисления процентов:
Сумму S также называют накопленным (наращенным) значением исходной суммы Р. Используя формулы 1.1.1, 1.1.6, получим:
где s (T ) = l + iT - множитель (коэффициент) наращения, или аккумулирующий множитель за период Т.
Зная инвестированную сумму Р и процентную ставку i, легко вычислить по формуле (1.1.7) значение S для произвольного срока кредитного соглашения. Множитель наращения не зависит от величины начальной суммы и показывает, во сколько раз вырос первоначальный капитал. Именно он характеризует доходность кредитной операции, позволяя определить, во что превратится единичная сумма к концу срока (или через любой промежуток времени Т). В финансовой математике принято рассчитывать результаты финансовых операций для единичных сумм, умножая затем результат на первоначальную величину и получая значение наращенной суммы.
При проработке различного рода финансовых операций нередко приходится решать обратную задачу: известно, какая сумма в будущем нужна для получения некоторого результата, искомой величиной является текущее ее значение. Иными словами, задача ставится так: какую сумму необходимо инвестировать сегодня, чтобы через определенный интервал времени получить заданное значение? В данной ситуации текущая стоимость денежной суммы является проекцией ее заданного будущего значения. Такое проецирование суммы из будущего в настоящее называют дисконтированием. Название термина происходит от слова "дисконт" - скидка с цены долгового обязательства при авансированной выплате процентов за пользование кредитом. Дисконтирование и наращение - взаимно обратные процессы. Формула дисконтирования по простой процентной ставке выглядит следующим образом:
(1.1.8)
где v = 1/(1 + iT ) - дисконтный множитель за период Т.
В англоязычной литературе для обозначения наращенной суммы традиционно используется буквосочетание FV (от Future Value of Money - будущая стоимость денег); для обозначения текущей стоимости - PV (от Present Value of Money - настоящая стоимость денег).
Термины "наращение" и "дисконтирование" употребляются и в более широком смысле, как средства определения любой стоимостной величины на некоторый произвольный момент времени вне зависимости от конкретного вида финансовой операции, предусматривающей начисление процентов. Такой расчет называют приведением стоимостного показателя к заданному моменту времени. Наращенная, или будущая, стоимость денежной суммы означает проекцию заданной в настоящий момент суммы на определенный интервал времени вперед, в будущее. Дисконтирование – проекцию суммы, заданной в некоторый момент времени в будущем, на определенный интервал времени назад, в настоящее.
Приведение суммы к определенному моменту времени состоит в ее умножении на множитель приведения, который равен либо множителю наращения при приведении к будущему моменту времени, либо дисконтному множителю при приведении к предшествующему (настоящему) моменту времени. Удобно совместить начало шкалы времени с моментом времени, когда задана сумма. Тогда наращению соответствует положительная часть оси времени, а дисконтированию – отрицательная. В этом случае множитель приведения r(t) можно записать в виде
(1.1.9)
где s(t) = s(T) - множитель наращения; v(׀ t׀ ) = v Т – дисконтный множитель; Т = ׀ t׀ – величина периода исчисления (значение временного интервала на числовой оси, взятое по модулю).
Зависимость этого множителя от времени, т.е. от величины периода начисления процентов Т=׀ t׀ , определяемая формулой (1.1.9), приведена на рис. 1.1.1 для ставки 30% годовых.
Переменная процентная ставка
Часто в течение срока действия кредитного соглашения процентная ставка изменяется. В этом случае проценты рассчитываются отдельно для каждого периода, в течение которого процентная ставка постоянна, а затем в конце срока кредитования рассчитанные для отдельных периодов проценты суммируются.
В общем виде при интервалах времени N , на каждом из которых будет применяться своя ставка процентов, начисленная сумма процентов за весь срок составит
где k – порядковый номер временного интервала; i k , Т k – соответственно номинальная процентная ставка и длительность временного интервала (в годах).
Иногда в литературе встречается утверждение, что (1.1.10) есть сумма процентов, начисленных в каждом временном периоде. Однако, согласно схеме простых процентов, начисление и выплата процентов предполагаются лишь по истечении срока кредитного соглашения; их начисление и присоединение к сумме основного долга в пределах срока ссуды не предусмотрено. В связи с этим следует провести различие между расчетом и начислением процентов. Расчет процентов – это математическая операция по определению величины процентных денег за любой временной период, а также за весь срок кредитного соглашения. Начисление же процентов – это конкретная бухгалтерская операция, в результате которой плата за кредит должна быть либо перечислена кредитору, либо присоединена к сумме основного долга. Поэтому говорить о начислении процентов при изменении процентной ставки в пределах срока кредита некорректно (поскольку никаких бухгалтерских операций в этом случае не осуществляется); можно вести речь лишь о расчете процентов за тот или иной период.
Материал предоставлен сайтом (Электронная библиотека экономической и деловой литературы)
Большинство хозяйственных операций (приобретение основных средств, покупка/продажа ценных бумаг, лизинг, получение/погашение банковских кредитов, анализ инвестиционных проектов и др.) порождают денежные потоки. Осуществление этих операций сопровождается множеством выплат и поступлений денежных средств, образуя денежный поток, распределенный во времени.
В связи с этим в процессе управления финансами предприятия возникает необходимость в проведении специальных расчетов, связанных с движением денежных потоков в различные периоды времени. Ключевую роль в этих расчетах играет оценка стоимости денег во времени. Концепция такой оценки базируется на том, что стоимость денег с течением времени изменяется с учетом нормы прибыли, сложившейся на финансовом рынке, в качестве которой выступает ставка ссудного процента или норма доходности по государственным ценным бумагам.
Из принципа временной стоимости денег (Time Value of Money, TVM) вытекает два важных следствия:
- необходимость учета фактора времени, в особенности при проведении долгосрочных финансовых операций;
- некорректность суммирования денежных величин, относящихся к разным периодам времени.
Рассмотрим отдельные элементы методического инструментария стоимости денег.
Процент — сумма дохода от предоставления капитала в долг или плата за пользование ссудным капиталом во всех его формах (депозитный и кредитный процент, по облигациям и векселям).
Простой процент — сумма дохода, начисляемого к основной сумме капитала в каждом интервале, по которой дальнейшие расчеты не производят.
Сложный процент — сумма дохода, начисляемого в каждом интервале, которую не выплачивают, а присоединяют к основной сумме капитала (вклада) в последующем платежном периоде.
Процентная ставка — удельный показатель, в соответствии с которым в установленные сроки выплачивают сумму процентов в расчете на единицу капитала (вклада). На практике процентная ставка выражает соотношение годовой суммы процентного дохода к объему основного долга.
Будущая стоимость денег (Future Value, FV) — сумма вложенных в настоящий момент денежных средств, в которую они превратятся через определенный период времени с учетом выбранной процентной ставки.
Настоящая стоимость денег (Present Value, PV) — сумма будущих денежных средств (вклада), приведенных с учетом конкретной процентной ставки к настоящему моменту времени.
Наращение стоимости (компаундинг — compounding) — процесс пересчета настоящей стоимости денежных средств (вклада) в их будущую стоимость в конкретном периоде времени путем добавления к первоначальной сумме начисленной величины процента.
Дисконтирование стоимости (discounting) — процесс приведения будущей стоимости денежных средств (вклада) к их настоящей стоимости путем исключения из будущей суммы соответствующей величины процента (дисконта). Посредством такой финансовой операции достигают сопоставимости текущей стоимости предстоящих денежных потоков.
Период начисления — общий период времени, в течение которого осуществляют процесс наращения или дисконтирования денежной суммы (вклада).
Интервал начисления - это минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.
Декурсивный способ начисления процентов — способ, при котором проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется исходя из величины предоставляемого капитала. Соответственно, декурсивная процентная ставка представляет собой выраженное в процентах отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода к сумме, имеющейся на начало данного интервала.
Антисипативный способ (предварительный) начисления процентов — это способ, при котором проценты начисляются в начале каждого интервала начисления. Сумма процентных денег определяется исходя из наращенной суммы. Процентной ставкой будет выраженное в процентах отношение суммы дохода, выплачиваемого за определенный интервал, к величине наращенной суммы, полученной по прошествии этого интервала. Определяемая таким способом процентная ставка называется учетной ставкой, или антисипативным процентом.
Наращение по простым процентам
Простые проценты используются в краткосрочных финансовых операциях, срок проведения которых меньше года или равен ему.
Наращение по годовой ставке простых процентов осуществляется по формуле:
FV = PV(1 + r × n), (1)
где FV — будущая стоимость;
PV — первоначальная стоимость;
n — число периодов (лет);
r — процентная ставка.
Пример 1
Клиент сделал вклад в банк в сумме 10 000 руб. под 12 % годовых сроком на пять лет. По формуле (1) находим:
FV = 10 000(1 + 0,12 × 5) = 16 000 руб.
Сумма начисленных процентов составит 6000 руб. (16 000 - 10 000).
Если продолжительность краткосрочной операции выражена в днях, то срок ее проведения корректируется следующим образом:
где t — число дней проведения операции;
В — временная база (число календарных дней в году).
Тогда будущую стоимость операции можно определить:
Время вклада (ссуды) может вычисляться или с учетом точного числа в месяцах, или при допущении, что расчетная продолжительность любого месяца равна 30 дням.
В результате конкретные расчеты по начислению процентов могут вестись по трем вариантам:
365/365 — точное число дней проведения операции и фактическое число дней в году (точные проценты);
365/360 — точное число дней проведения операции и финансовый год (12 месяцев по 30 дней);
360/360 — приближенное число дней проведения операции (месяц принимается равным 30 дням) и финансовый год (обыкновенные проценты).
Для одних и тех же условий начисления процентов проведение расчетов по этим вариантам приводит к несколько отличающимся финансовым последствиям.
Пример 2
Акционерное общество получило в банке ссуду в размере 200 тыс. руб. под 15% годовых на срок с 15 февраля до 15 апреля. Определить сумму, которую необходимо возвратить банку.
Сначала нужно определить число дней использования ссуды: 15 февраля - 46-й день в году, 15 апреля - 105-й день в году. Отсюда точный срок ссуды - 59 дней. Тогда, по формуле (3) находим:
Дисконтирование по простым процентам
Существует два способа дисконтирования.
Математическое дисконтирование — способ, основанный на решении задачи, обратной определению будущей стоимости. При проведении расчетов здесь используется процентная ставка.
С учетом принятых ранее обозначений формула дисконтирования по ставке r будет иметь вид:
(4)
Доход банка (FV - PV) называют дисконтом, а используемую норму приведения r — декурсивной ставкой процентов.
Пример 3
Какую цену заплатит инвестор за бескупонную облигацию, номинальная стоимость которой 500 тыс. руб., а срок погашения — 270 дней, если требуемая норма доходности — 20 %?
По формуле (4) при использовании обыкновенных процентов:
PV = 500 / (1 + 0,2 × 270 / 360) = 434,78 тыс. руб.;
точных процентов:
PV = 500 / (1 + 0,2 × 270 / 365) = 435,56 тыс. руб.
Банковское дисконтирование применяется при банковском учете векселей, при этом проценты начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока операции. При проведении расчетов используется учетная ставка d:
(5)
При дисконтировании по учетной ставке чаще всего используют временную базу 360/360 или 360/365. Используемую при этом норму приведения d называют антисипативной ставкой процентов.
Пример 4
Простой вексель на сумму 500 тыс. руб. со сроком погашения один год учитывается в банке через 270 дней по простой учетной ставке 20 %. Какую сумму получит владелец векселя?
Используем формулу (5), учитывая, что n — это разность во времени между моментом учета и сроком погашения векселя:
PV = 500 (1 - 0,2 × 90 / 360) = 475 тыс. руб.
Применение двух рассмотренных методов дисконтирования к одной и той же сумме приводит к разным результатам, даже при r = d. Учетная ставка дает более быстрое снижение суммы, чем обычная.
Пример 5
Простой вексель на сумму 100 тыс. руб. с оплатой через 90 дней учитывается в банке немедленно после получения. Необходимо определить сумму, полученную владельцем векселя при процентной/учетной ставке 15 %.
При использовании процентной ставки по формуле (4):
PV = 100 / (1 + 0,15 × 90 / 360) = 96,39 тыс. руб.
При использовании учетной ставки по формуле (5):
PV = 100 (1 - 0,15 × 90 / 360) = 96,25 тыс. руб.
Учетная ставка d применяется и для наращения по простым процентам (например, при определении будущей суммы контракта):
(6)
Изменим условия примера 5 следующим образом.
Пример 6
На какую сумму должен быть выписан вексель, чтобы поставщик, проведя операцию учета, получил стоимость товаров (100 тыс. руб.) в полном объеме, если учетная ставка — 15 %?
По формуле (6) определяем будущую стоимость (номинал) векселя:
FV = 100 / (1 - 0,15 × 90 / 360) = 103,896 тыс. руб.
Величина процентной ставки r или учетной ставки d может быть определена из соотношений (1) и (5):
(7)
(8)
Пример 7
Краткосрочное обязательство со сроком погашения 90 дней было приобретено по цене 98,22 ед. от номинала. Необходимо определить доходность операции для инвестора.
Она составляет (с использованием обыкновенных процентов):
Срок операции в днях определяется следующим образом:
Пример 8
Необходимо определить срок владения обязательством стоимостью 98,22 ед., погашаемого по номиналу, если требуемая норма доходности 7,2 %.
Эквивалентность процентных ставок r и d
Эквивалентные процентные ставки — это такие ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты.
Эквивалентные процентные ставки необходимо знать в случаях, когда существует возможность выбора условий финансовой операции и требуется инструмент для корректного сравнения различных процентных ставок.
Вывод формул эквивалентности базируется на равенстве соответствующих множителей наращения:
1 + n × r = (1 - n × d) - 1. (11)
С учетом формулы (11) для операций с продолжительностью менее года соотношения эквивалентности примут вид:
- временная база одинакова и равна В (360 или 365 дней):
- временная база ставки r равна 365 дням, а d — 360 дням:
Пример 9
Срок уплаты по векселю — 250 дней. При этом ставка простых процентов измеряется при временной базе 365 дней, а простая учетная ставка — при временной базе 360 дней. Какова будет доходность, измеренная в виде ставки простых процентов, учета векселя по простой учетной ставке 10 %?
Используя формулу (14) для r при заданных временных базах, получим:
r = 365 × 0,1 / (360 - 250 × 0,1) = 0,1089, или 10,89 %.
Допустим, что настоящая стоимость векселя — 100 000 руб. Тогда его номинальная стоимость по формуле (3) составит:
Наращение по сложным процентам
Сложные проценты применяются, как правило, в финансовых операциях, срок проведения которых более года. При этом базой исчисления процентов является как исходная сумма финансовой операции, так и сумма уже накопленных к этому времени процентов.
Наращение по сложным процентам имеет вид:
FV n = PV (1 + r) n . (16)
Наращение по сложным процентам подразумевает реинвестирование полученных доходов или капитализацию.
Начисление сложных процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов j — годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления.
При m равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке j эта величина считается равной j / m. Тогда, если срок финансовой операции составляет n лет, выражение для определения наращенной суммы (16) примет вид:
При увеличении числа периодов начисления m будущая величина FV mn также возрастает.
Пример 10
Первоначальная сумма вложения 200 тыс. руб. определить наращенную сумму через пять лет при использовании сложной ставки процентов в размере 28% годовых. Решить пример для случаев, когда проценты начисляются по полугодиям, поквартально.
По формуле (16) для сложных процентных ставок:
FV = 200(1 + 0,28) 5 = 687,2 тыс. руб.
По формуле (17) для начисления по полугодиям:
FV = 200(1 + 0,28 / 2) 10 = 741,4 тыс. руб.
По той же формуле для поквартального начисления:
FV = 200(1 + 0,28 / 4) 20 = 773,9 тыс. руб.
Если срок финансовой операции n в годах не является целым числом, множитель наращения k определяется по формуле:
k = (1 + r) n a (1 + n b × r), (18)
где n = n a + n b ;
n a — целое число лет;
n b — оставшаяся дробная часть года.
На практике в данном случае часто применяют формулу (16) с соответствующим нецелым показателем степени. Однако этот способ является приблизительным. Чем больше значения входящих в формулу величин, тем погрешность при вычислениях будет больше.
Пример 11
Первоначальная сумма долга равна 50 000 тыс. руб. Необходимо определить наращенную сумму через 2,5 года, используя два способа начисления сложных процентов по ставке 25 % годовых.
По формуле (18) получаем:
FV = 50 000(1 + 0,25) 2 (1 + 0,5 × 0,25) = 87 890,6 тыс. руб.
Для второго способа используем формулу (16) с нецелым показателем степени:
FV = 50 000(1 + 0,25) 2,5 = 87 346,4 тыс. руб.
При использовании приблизительного метода упущенная выгода могла бы составить около 550 тыс. руб.
Если начисление сложных процентов осуществляется несколько раз в году и общее число интервалов начисления не является целым числом (mn — целое число интервалов начисления, l — часть интервала начисления), то выражение (17) принимает вид:
(19)
Для целого числа периодов начисления используется формула сложных процентов (16), а для оставшейся части — формула простых процентов (1).
На практике часто возникает необходимость сравнения условий финансовых операций, предусматривающих различные периоды начисления процентов. В этом случае соответствующие процентные ставки приводят к их годовому эквиваленту по формуле:
Полученную при этом величину называют эффективной процентной ставкой (effective percentage rate — EPR), или ставкой сравнения.
Пример 12
На четырехлетний депозит в 10 000 руб. производится ежеквартальное начисление сложных процентов по ставке 2,5 %, то есть из расчета 10 % годовых. Будет ли эквивалентной инвестицией депозит в 10 000 руб., вложенный на тот же срок под 10 %, начисляемых один раз в год?
Рассчитаем эффективную ставку для обеих операций:
- ежеквартально: EPR = (1 + 0,1 / 4) 4 - 1 = 0,103813;
- ежегодно: EPR = (1 + 0,1 / 1) 1 - 1 = 0,10.
Таким образом, условия помещения суммы в 10 000 руб. на депозит сроком на четыре года под 2,5 %, начисляемых ежеквартально, будут эквивалентными годовой ставке, равной 10,3813 %. Следовательно, первая операция более выгодна для инвестора.
Если известна величина EPR, номинальная ставка процентов может быть определена следующим образом:
Дисконтирование по сложным процентам
Рассмотрим использование при математическом дисконтировании сложных процентных ставок:
Если проценты будут начисляться m раз в году, то формула (22) примет вид:
Пример 13
Банк производит начисление процентов на внесенную сумму по сложной процентной ставке, равной 20 % в год. Какую сумму следует положить на депозит при условии, что вкладчик рассчитывает получить 10 000 тыс. руб. через 10 лет? Требуется рассмотреть два варианта начисления процентов — ежегодное и ежеквартальное.
При ежегодном начислении процентов по формуле (22):
PV = 10 000 / (1 + 0,2) 10 = 1615,1 тыс. руб.
При ежеквартальном начислении процентов по формуле (23):
PV = 10 000 / (1 + 0,2 / 4) 40 = 1420,5 тыс. руб.
Использование сложной учетной ставки
Для расчета операции дисконтирования по сложной учетной ставке используется формула:
PV n = FV n (1 - d) n . (24)
Пример 14
Владелец векселя номинальной стоимостью 500 тыс. руб. и периодом обращения 1,5 года предложил его банку сразу для учета, то есть за 1,5 года до погашения. Банк согласился учесть вексель по сложной учетной ставке 20 % годовых. Требуется определить дисконт, полученный банком, и сумму, выданную владельцу векселя.
Используя формулу (24), находим:
PV = 500 (1 - 0,2) 1,5 = 357,77 тыс. руб.
Дисконт банка составит: 500 - 357,77 = 142,23 тыс. руб.
Для данных условий определим сумму, которую получил бы владелец векселя, если бы банк произвел учет векселя по простой учетной ставке 20 %. Для этого используем формулу (5):
PV = 500 (1 - 0,2 × 1,5) = 350 тыс. руб.
Дисконт банка составит 500 - 350 = 150 тыс. руб.
Таким образом, банку выгоднее учитывать вексель по простой учетной ставке.
Если дисконтирование по сложной учетной ставке производится m раз в году, расчетная формула будет иметь следующий вид:
Пример 15
Сохраним условия предыдущего примера, но пусть расчет дисконтирования производится ежеквартально, то есть m = 4.
По формуле (25) получим:
PV = 500 (1 - 0,2 / 4) 6 = 367,55 тыс. руб.
Дисконт банка составит: 500 - 367,55 = 132,45 тыс. руб.
Доход банка при ежеквартальном дисконтировании будет меньше, чем при ежегодном дисконтировании, на: 142,23 - 132,45 = 9,78 тыс. руб.
При дисконтировании с начислением процентов за периоды менее года может использоваться понятие «эффективная сложная учетная ставка». Эффективная сложная учетная ставка, эквивалентная сложной учетной ставке при заданном значении m, определяется по формуле:
d эф = 1 - (1 - d / m) m . (26)
Пример 16
Долговое обязательство номинальной стоимостью 500 тыс. руб. должно быть погашено через пять лет. Сложная учетная ставка равна 20 % годовых. Начисление процентов ежеквартальное. Требуется определить настоящую величину стоимости обязательства и эффективную учетную ставку.
Используя формулы (25) и (26), получим:
PV = 500 (1 - 0,2 / 4) 20 = 179,243 тыс. руб.
d эф = 1 - (1 - 0,2 / 4) 4 = 0,18549, или 18,549 %.
Подставив значение 18,549 % в формулу (24), получим:
PV = 500 (1 - 0,18549) 5 = 179,247 тыс. руб.
Расхождение между величинами настоящей суммы, рассчитанными по этим формулам, находятся в пределах точности расчета.
Определение процентной ставки и срока проведения операции
При известных величинах FV, PV и n процентную ставку можно определить по формуле:
Пример 17
Сумма в 10 000 руб., помещенная в банк на четыре года, составила величину 14 641 руб. Необходимо определить доходность операции.
По формуле (27) находим:
r = (14 641 / 10 000) 1/4 - 1 = 0,1, или 10 %.
Длительность операции определяется логарифмированием:
Пример 18
Сумма в 10 000 руб., помещенная в банк под 10 % годовых, составила величину в 14 641 руб. Необходимо определить срок проведения операции.
По формуле (28) находим:
n = log (14 641 / 10 000) / log (1 + 0,1) = 4 года.
Вывод
Приведенные расчетные формулы описывают механизм влияния фактора времени на результат финансовых операций. Их использование позволит избежать ошибок и потерь в условиях снижения покупательной способности денег.
Е. Г. Моисеева,
канд. экон. наук, Арзамасский политехнический институт
Цена денег – это плата за временное использование «чужих» денег, она определяется в виде простых или сложных процентов. Проценты – это доход от предоставления капитала в долг, то есть денежная плата, взимаемая за использование денег. Если проценты имеют стоимостное выражение, их принято называть процентными деньгами. Давая деньги взаймы сегодня, владелец подвергает себя риску их не возврата, то есть не получения дохода от возможных инвестиций, снижает свою ликвидность. Поэтому он стремится возместить потери – получить доход от предоставления денег в долг. Этот доход и называется процентными деньгами.
Процентная ставка – величина, характеризующая интенсивность начисления процентов.
Период начисленияпроцентов – промежуток времени, за который начисляются проценты (срок, на который предоставляются деньги).
Интервал начисления – минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.
Существует два способа начисления процентов: декурсивный и антисипативный.
Декурсивный способ начисления процентов – наращение первоначальной суммы по процентной ставке . Проценты (правильнее – процентные деньги) выплачиваются в конце каждого интервала начисления.
Декурсивная процентная ставка (i), называемая ссудным процентом, – это выраженное в процентах отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода I (процентных денег) к сумме, имеющейся на начало данного интервала – P .
Наращение (рост) первоначальной суммы долга – увеличение суммы долга за счет присоединения начисленных процентов.
S = P + I , (4.1)
I = S – P , (4.2)
где S – наращенная сумма.
Коэффициент наращения К н определяется следующим образом:
Процентная ставка i является относительной величиной, измеряется в долях единицы и определяется делением процентных денег на первоначальную сумму.
. (4.4)
Формула расчета процентной ставки идентична расчету статистического показателя «темп прироста».
Определение наращенной суммы S называется компаундингом . Определение первоначальной суммы Р – дисконтированием.
День получения и день окончательного погашения займа считаются одним днем (граничный день). Начисление процентов по кредитам и депозитам происходит, как правило, ежедневно. При этом может использоваться или точное количество дней в году (360/365) или банковское (30 дней).
При антисипативном способе начисления процентов (предварительном) проценты выплачиваются в начале периода, за который начисляются проценты. Пример: проценты, взимаемые банком при учете векселей; по факторинговому кредит и проч. Величиной получаемого кредита является наращенная сумма S . Исходя из нее и начисляются проценты. Заемщик получает сумму кредита за вычетом процентов.
Разница между размером кредита S и выдаваемой суммой Р называется дисконтом, обозначается через D и представляет собой сумму процентных денег.
D = S – P . (4.5)
Ставка дисконта, выраженная в долях от единицы и определяемая делением суммы дисконта на величину Р , называется учетной ставкой d .
. (4.6)
Можно заметить, что и сумма процентов I и величина дисконта D определяются одинаковым образом. Однако в первом случае речь идет о приросте текущей стоимости, своего рода «наценке», то есть определяется будущая стоимость «сегодняшних денег». Во втором случае определяется настоящая стоимость будущих денег, то есть определяется «скидка» с будущей стоимости (diskont в переводе с немецкого означает «скидка»).
Чаще всего антисипативный способ используется в чисто технических целях – при дисконтировании, а также при учете векселей в банке и при оплате факторинговых услуг. Во всех остальных случаях в мировой практике более распространен декурсивный способ начисления процентов.
Антисипативный способ применяется в странах с развитой рыночной экономикой в периоды высокой инфляции, так как наращение по антисипативному способу происходит более быстрыми темпами, чем при декурсивном способе начисления.
В хозяйственной практике РБ в настоящее время применяется в основном декурсивный способ начисления простых процентов. Проценты по счетам начисляются в соответствии с договором между банком и клиентом. По счетам учета кредитных и депозитных операций проценты начисляются за период, включающий день выдачи кредита или зачисления денег в депозит, и день, предшествующий погашению кредита или выдачи депозита (закрытия счета). При изменении процентной ставки начисление процентов по новой ставке осуществляется со дня ее установления.
