Способы начисления процентов в российских банках. Процентная ставка

В банковской практике существуют различные методы и способы начисления процентов.

Применяются простые и сложные проценты.

Простые проценты используются, прежде всего, при краткосрочном кредитовании, когда один раз в квартал или другой срок, определенный договором, производится начисление процентов и выплата их кредитору. Как правило, в настоящее время преимущественно применяется изложенный выше способ. При этом общий объем платежей заемщика с учетом основной суммы долга составит:

S = P(1 + ni), (2.3.1)

где S- сумма выплат по кредиту с учетом первоначального долга;

P-первоначальный долг;

i-ставка процентов;

n-продолжительность ссуды в годах, либо отношение периода пользования ссудой в днях к применяемой базе (360 или 365 дням).

Очень часто в банковской практике приходится производить операцию, обратную процедуре начисления процентов. Это имеет место, например, в случае обращения дисконтных векселей. В этом случае при определении первоначального долга будет применяться следующая формула:

Предположим, банк выпустил вексель на следующих условиях: вексельная сумма по номиналу 100 млн руб. сроком на 3 месяца при условии уплаты 120% годовых. Сумма платежа в случае размещения векселя составит:

млн руб. (2.3.3)

При процедуре учета векселей для определения суммы платежа до истечения срока их предъявления используется следующая формула:

S = P(1-- nd), (2.3.4)

где d -- простая учетная ставка.

Например, банк учитывает вексель за 20 дней досрочно до установленной даты погашения обязательства. При этом вексельная сумма дана 100 млн руб., а учетная ставка -- 130% годовых. В этом случае сумма, по которой вексель учитывается, составит:

млн руб. (2.3.5)

В банковской практике возможно использование сложного процента, как правило, при долгосрочном кредитовании, когда начисленные суммы не выплачиваются кредитору до окончания сделки, а увеличивают основную сумму долга. В отечественной практике метод начисления сложных процентов получил наибольшее распространение по депозитным счетам частных лиц.

При использовании этого метода размер начисленных средств включается в задолженность и на них продолжает начисляться процент. Формулу для начисления сложных процентов и определения общей суммы задолженности можно представить в виде:

S = P(l + i) n -- при постоянной ставке процентов; (2.3.6)

S = P(l + i) n ? (1 + i 2) n 2 …(1 + i k) n k --при переменной ставке процентов,

где S- сумма долга через k лет;

P- объем предоставленной ссуды;

i k - ставка процента;

n k - продолжительность ссуды в годах, в течение которых применялись данные ставки.

Рассмотрим условный пример.

Допустим, банком выдана ссуда заемщику в размере Р = 10000 руб. на 5 лет с уплатой 10% годовых по истечении срока займа. Определить размер задолженности через 5 лет.

S 5 = 10000 ?(1 + 0,1) 5 = 16 105 руб. (2.3.7)

Общая сумма начисленных за 5 лет процентов при указанном способе составит:

S 5 -- P = (16 105--10000) = 6 105 руб. (2.3.8)

В случае, если бы банк использовал простые проценты и взыскивал их ежегодно, то доход от этой сделки был бы равен:

P xixk = 10 000 ? 10% ? 5 = 5 000 руб. (2.3.9)

Как видим, получено довольно ощутимое отклонение, которое ведет к увеличению чистого дохода банка на 1 105 руб. .

При начислении процентов несколько раз в году рассмотренная выше формула сложных процентов примет вид:

S = P(1 + Im) N , (2.3.10)

где m -- число начислений процентов в году;

N -- общее число периодов начисления процентов.

Банк должен тщательно анализировать все моменты, которые могут в конечном итоге повлиять на прибыльность банковских операций. Например, необходимо учитывать характер инфляции и в этой связи определять, что целесообразней для банка: либо наращивать сумму долга посредством начисленных, но невостребованных процентов, либо получать ежегодную плату за кредит.

Возможны различные способы начисления процента: они определяются характером измерения количества дней пользования ссудой и продолжительностью года в днях (временной базы для расчета процентов). Так, число дней ссуды может определяться точно или приближенно, когда продолжительность любого полного месяца признается равной 30 дням. Временная база приравнивается либо к фактической продолжительности года (365 или 366 дней) или приближенно к 360 дням. Соответственно, применяют следующие варианты начисления сложных процентов:

1. Точные проценты с фактическим числом дней ссуды; этот способ

дает самые точные результаты и применяется многими центральными и

крупными коммерческими банками. Он характеризуется тем, что для

расчета используется точное число дней ссуды, временная база равняется фактической продолжительности года. Например,

Р--сумма выданного кредита -- 100 000 руб..

i --ставка процента -- 9% годовых.

K-- точное число дней ссуды,

S -- наращенная сумма долга.

S = 100000 ? (1 + 0,09% ? 260 да.: 365 дн.) = 106411 руб. (2.3.11)

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. В этом случае также как и в предыдущем, для расчета берегся точное число дней ссуды, но временная база приравнивается к 360 дням. Если срок кредита превышает 360 дней, то сумма начисленных процентов будет больше, чем предусмотрено годовой ставкой (так, если период ссуды равен 364 дням, то 364:360=1,011). Рассмотрим данный способ на предложенном выше примере:

S 2 = 100000 ?(1 + 0,09% ? 260 дн.: 360 дн.) = 106 499 руб. (2.3.12)

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Здесь продолжительность ссуды в днях определяется приближенно, временная база равна 360 дням. Считается, что точное число дней ссуды в большинстве случаев больше приближенного, поэтому и размер начисленных процентов с точным числом дней обычно больше, чем с приближенным.

В нашем примере приближенное число дней ссуды равно 257 дням (S 3), учитывая это:

S 3 = 100 00 ? (1 + 0,09%?257 дн.: 360 дн.) = 106424 руб. (2.3.13)

Практика показывает, что второй способ начисления процентов, а именно, обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды дает несколько больший результат относительно двух других вариантов, что необходимо иметь ввиду кредитору при оформлении ссуды.

Таким образом в банковской практике применяются простые и сложные проценты. Простые проценты используются, прежде всего, при краткосрочном кредитовании, когда один раз в квартал или другой срок, определенный договором, производится начисление процентов и выплата их кредитору. Сложный процент используется при долгосрочном кредитовании, когда начисленные суммы не выплачиваются кредитору до окончания сделки, а увеличивают основную сумму долга. Применяют следующие варианты начисления сложных процентов: точные проценты с фактическим числом дней ссуды; обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды; обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

3. Изменение процентных ставов банков Республики Беларусь в условиях мирового экономического кризиса

Мировая экономика в 2006--2009 гг. столкнулась с одним из самых серьезных экономических и финансовых кризисов со времен Великой депрессии 1930-х гг. Возникшие в 2006 г. проявления финансовой нестабильности не ограничились убытками финансовых организаций и нарушениями в работе финансовых рынков. Несмотря на предпринятые мировым сообществом стабилизационные меры, к числу которых относились, в частности, снижение базовых процентных ставок центральных банков, вливания ликвидности и рекапитализация системно значимых кредитно-финансовых организаций, а также реструктуризация национальных финансовых систем и применение дополнительных гарантий по вкладам, сокращение объемов и удорожание внешнего финансирования реального сектора мировой экономики привело к снижению темпов мирового экономического роста, инвестиций, занятости на фоне нарастания инфляции, ухудшения финансового состояния предприятий реального и финансового сектора экономики, домашних хозяйств. К концу 2008 г. финансовый кризис перерос в полномасштабный экономический и в той или иной мере затронул экономические системы практически всех стран мира.

Сложившаяся экономическая и финансовая ситуация потребовала определенной корректировки процентной политики и в Республике Беларусь.

Процентная политика в условиях неблагоприятной внешнеэкономической ситуации и нарастания трудностей на внутреннем валютном рынке была направлена на поддержание реальных ставок на положительном уровне. Тем самым она содействовала обеспечению стабильности финансовой системы, платежного баланса и в целом экономической ситуации. Учитывая более высокий уровень инфляции, чем прогнозировалось, Национальный банк с середины 2008 г. начал постепенно повышать ставку рефинансирования, доведя ее с 17 декабря 2008 г. до уровня 12% годовых, а с 8 января текущего года -- до 14%. Вплоть до настоящего времени ставка рефинансирования остается на данном уровне (рисунок 1).

Рисунок 1

Средняя процентная ставка по вновь привлеченным срочным депозитам в национальной валюте в декабре 2008 г. сложилась на уровне 15,2% годовых, что на 5,1 процентного пункта выше по сравнению с декабрем 2007 г. (10,1%).

Средняя процентная ставка по новым кредитам банков в национальной валюте в декабре 2008 г. составила 17,5% годовых, что на 4,4 процентного пункта выше уровня декабря 2007 г. (13,1%).

Средняя процентная ставка по вновь выданным кредитам банков в СКВ в декабре 2008 г. составляла13,4% годовых, увеличившись на 2,4 процентного пункта относительно декабря 2007 г. (11%).

Для поддержания финансовой стабильности в начале января 2009 г. были увеличены процентные ставки по постоянно доступным операциям регулирования ликвидности Национального банка на 2 процентных пункта (по кредиту "овернайт" и сделкам СВОП "овернайт" -- до 22% годовых, по депозитам -- до 10% годовых). В апреле 2009 г. в связи со снижением темпов инфляции данные процентные ставки по операциям Национального банка были снижены на 2 процентных пункта (до 20 и 8% соответственно). Однако последующий рост спроса населения на иностранную валюту и снижение срочных рублевых вкладов физических лиц потребовали вновь повысить указанные выше ставки до прежнего уровня (с 17 июня текущего года -- 22 и 10% годовых соответственно).

Отражая конъюнктуру финансового рынка, заметно увеличились ставки по депозитам и кредитам, предоставляемым белорусскими банками. Так, например, средняя процентная ставка по вновь привлеченным срочным депозитам в национальной валюте, по предварительным данным, в июне 2009 г. сложилась на уровне 17,3% годовых, что на 2,1 процентного пункта выше по сравнению с декабрем 2008 г. (15,2% годовых).

Средняя процентная ставка по новым кредитам банков в национальной валюте в июне 2009 г. составила 20,9% годовых, что на 3,4 процентного пункта выше уровня декабря 2008 г. (17,5% годовых) (рисунок 2).

Рисунок 2

При прогнозируемом Министерством экономики уровне инфляции на 2009 г. (9--11% годовых) и исходя из допустимого изменения курса белорусского рубля к корзине валют, ставка рефинансирования к концу текущего года должна составить 10--12%, как это и определено в Основных направлениях денежно-кредитной политики на 2009 год. Вместе с тем Национальный банк может корректировать ставку рефинансирования в случае изменения Министерством экономики официальных прогнозов инфляции с учетом складывающихся реальных тенденций в экономике и денежно-кредитной сфере. В 2009 г. Национальный банк будет поддерживать положительные в реальном выражении процентные ставки по операциям Национального банка на финансовом рынке.

По итогам работы экономики в I квартале текущего года, в случае ее прогнозируемого развития, представляется возможным постепенное снижение уровня ставок с целью обеспечения большей доступности кредитов для населения и предприятий.

В соответствии с Основными направлениями денежно-кредитной политики к концу 2009 г. процентные ставки по новым кредитам нефинансовому сектору должны составить 13--15% годовых, по новым срочным депозитам в банках -- 10--12% годовых. В настоящее время под влиянием инфляционных и девальвационных процессов в экономике на рынке банковских услуг существенно поднялись процентные ставки по кредитам и депозитам.

Национальный банк исходит из того, что достигнутый в настоящий период уровень процентных ставок следует рассматривать как предельный. Нет объективных причин для их дальнейшего повышения. Динамика депозитов населения стабилизировалась. Проводимые антиифляционные меры позволяют прогнозировать замедление темпов инфляции. Осуществлен переход к привязке белорусского рубля к валютной корзине, который стабилизирует курсовые колебания. Необходимо постепенно перейти от роста процентных ставок на рынке депозитов и кредитов к их снижению и обеспечить выполнение прогнозных параметров основных направлений денежно-кредитной политики на 2009 год.

Банкам в первую очередь следует пересмотреть в сторону постепенного снижения на 2--3 процентных пункта ставки по срочным валютным депозитам физических лиц. Это будет стимулировать сбережения в национальной валюте и последовательно приведет к более низким процентным ставкам по депозитам и кредитам в белорусских рублях. Как ориентир следует рассматривать выход на уровень процентных ставок прошлого года.

Начисление процентов может осуществляться одним из четырех способов:

· по формулам простых процентов;
· по формулам сложных процентов;
· с использованием фиксированной процентной ставки;
· с использованием плавающей процентной ставки.

Если в договоре не указывается способ начисления процентов, то начисление процентов осуществляется по формуле простых процентов с использованием фиксированной процентной ставки.

При начислении суммы процентов по привлеченным и размещенным денежным средствам в расчет принимается величина процентной ставки (в процентах годовых) и фактическое количество календарных дней, на которое привлечены или размещены денежные средства. При этом за базу берется действительное число календарных дней в году (365 или 366 соответственно). {положение, утвержденное ЦБ РФ 24,12,98 №64-П (положение о порядке начисления процентов по операциям, связанным с привлечением и размещением денежных средств банками, и отражение указанных операций по счетам бухгалтерского учета)}

Рассмотрим формулы определения наращенной суммы долга по привлеченным (размещенным) средствам банков.

Формула простых процентов Ю.И. Львов, В.И. Букато. Банки и банковские операции в России / Под ред. М.Х. Лапидуса. - М.: Финансы и статистика, 2007:

S = P * (1 + I * T/K), где:

Т - количество дней начисления процентов по привлеченным (размещенным) денежным средствам;

К - количество календарных дней в году;

P - первоначальная сумма привлеченных (во вклад, депозит и другие банковские счета) или размещенных (в кредит, заем на других банковских счетах) денежных средств;

S - сумма денежных средств, причитающихся возврату (получению), равная первоначальной сумме привлеченных (размещенных) средств, к которым добавляются начисленные проценты.

Пример 1. Определение начисленных процентов на сумму срочного депозита по формуле простых процентов.

02,07,99 г. банк принимает в межбанковский депозит денежные средства в сумме 50 000 руб. сроком на 7 дней по ставке 24,9%. Полный срок депозита (02 - 09,07,99) 8 календарных дней, период начисления процентов по депозиту (02 - 08,07,99) - 7 календарных дней. 09,07,99 г. банк возвращает сумму депозита и уплачивает начисленные проценты в сумме:
50 000 руб. * 24,9% * (7 дней/365 дней) = 238,77 руб.

Пример 2. Начисление процентов на сумму выданного кредита по фиксированной процентной ставке (см. формулу 19.1.). 11.08.99 г. банк выдает юридическому лицу (предприятию) кредит в сумме 250 тыс. руб. на 1 месяц по ставке 25%. Срок возврата суммы кредита и уплаты процентов по нему - 11.09.99 г. Полный срок кредита (11.08 - 11.09.99 г.) - 32 календарных дня, период начисления процентов по кредиту (11.08 - 10.09.99) - 31 календарный день. 11.09.99 г., согласно условиям кредитного договора, предприятие-заемщик погашает перед банком задолженность по кредиту и производит уплату процентов за пользование кредитом в сумме:

250 000 руб. х 25% х (31 день/365 дней) = 5308 руб. 22 коп.
2. Формула сложных процентов Ю.И. Львов, В.И. Букато. Банки и банковские операции в России / Под ред. М.Х. Лапидуса. - М.: Финансы и статистика, 2007:
- S = Px (l + IxJ/K) (19.2) где:

I - годовая процентная ставка;

J - количество календарных дней в периоде, по итогам которого банк производит капитализацию начисленных процентов;

К - количество календарных дней в году (365 и 366);1 Положение, утвержденное ЦБ РФ 24.12.98 №64-П. (Положение о порядке начисления процентов по операциям, связанным с привлечением и размещением денежных средств банками, и отражение указанных операций по счетам бухгалтерского учета).

Р - первоначальная сумма привлеченных (во вклад, депозит и другие банковские счета) или размещенных (в кредит, заем на других банковских счетах) денежных средств;

S - сумма денежных средств, причитающихся возврату (получению), равная первоначальной сумме привлеченных (размещенных) денежных средств, к которым добавляются начисленные проценты.

Пример 3. Начисление процентов на сумму срочного вклада с условием ежемесячной капитализации процентов А.И. Ольшанский. Банковское кредитование / Российский и зарубежный опыт. М., РДЛ, 2006:

20.07.99 г. банк заключает с вкладчиком договор срочного вклада на 3 месяца (срок возврата вклада - 20.10.99 г.). Сумма вклада - 10 тыс. руб. Процентная ставка - 22%, 20-го числа каждого месяца действия договора производится капитализация начисленных процентов. Переоформление вклада по окончании срока действия договора на ранее действовавших условиях срочного вклада договором не предусматривается. Выплата начисленных к сумме вклада процентов осуществляется по истечении срока действия договора. В течение срока действия договора банк трижды, 20.08.99 г. 20.09.99 г., и 20.10.99 г., производит капитализацию начисленных процентов во вклад. 20.10.99 г. срок окончания договора срочного вклада, вкладчик не явился за вкладом в установленный договором срок. В этот же день, после окончания операционного дня, банк переоформляет указанный срочный вклад во вклад до востребования. 28.10.99 г. вкладчик получает сумму вклада до востребования и начисленные за период с 20.10.99 г. по 27.10.99 г. включительно (8 календарных дней) проценты по установленной ставке в 4%. Полный срок срочного вклада (20.07 - 20.10.99 г.) - 93 календарных дня, период начисления процентов по ставке срочного вклада - 22% (20.07 - 19.10.99) - 92 календарных дня.

Полный срок вклада до востребования (20.10 - 28.10.99) - 9 календарных дней. Период начисления процентов по ставке вклада до востребования - 4% (20.10 - 27.10.99) - 8 календарных дней.

Порядок начисления банком процентов на сумму вклада будет следующим:

1) сумма срочного вклада на 21.08.99 г. (с капитализацией процентов, начисленных за период с 20.07.99 г. по 19.08.99 г. включительно):
10 000 руб. (10 000 х 22% х 31 день/365 дней) = 10 186 руб. 85 коп.
2) сумма срочного вклада на 21.09.99 г. (с капитализацией процентов, начисленных за период с 20.08.99 по 19.09.99 включительно):
10 186,85 руб. (10 186,85 х 22% х 31 день/365 дней) = 10 377 руб. 19 коп.
3) сумма срочного вклада по состоянию на конец операционного дня 20.10.99 г. (с капитализацией процентов, начисленных за период с 20.09.99 по 19.10.99 г. включительно), в конце рабочего дня 20.10.99 г. переоформленного на вклад до востребования:
10 377 руб. 85 коп. + (10 377 руб. 19 коп. х 22% х 30 день/365 дней) = 10 564 руб. 83 коп.
4) сумма начисленных на вклад до востребования процентов (за период с 20.10.99 г. по 27.10.99 г. включительно)
10 564 руб. 83 коп. х 4%) х 8 дней/365 дней) = 9 руб. 26 коп.

Таким образом, общая сумма возврата денежных средств вкладчику составит на 28.10.99 г. 10 574 руб. 09 коп., из которых 10 764 руб. 83 коп. - сумма срочного вклада с учетом капитализированных процентов и 9 руб. 26 коп. - проценты, начисленные за время, прошедшее с момента переоформления указанного срочного вклада во вклад до востребования.

Пример 4. Начисление процентов на сумму срочного вклада по формуле сложных процентов:

05.08.99 г. банк заключает с вкладчиком договор срочного банковского вклада на 21 день (срок возврата вклада - 26.08.99 г.). Сумма вклада 10 тыс. руб. Процентная ставка - 15%, по условиям договора начисленные по итогам каждого дня срока действия депозита проценты увеличивают сумму вклада. Полный срок вклада (05.08 - 25.08.99) - 22 календарных дня, период начисления процентов по вкладу (05.08 - 25.08.99) - 21 календарный день, 26.08.99 банк возвращает вкладчику вклад (с учетом ежедневной капитализации процентов) в сумме:
10 000 руб. х (1 + 15% х 1 день/365 дня) х 21 = 10 086 руб. 66 коп.

Пример 5. Начисление процентов на сумму депозита по плавающей процентной ставке:

17.11.99 г. банк привлекает на 7-дневный депозит денежные средства юридического лица (предприятия) в сумме 45 тыс. руб. по плавающей процентной ставке, равной ставке рефинансирования БР на момент действия депозита (по состоянию на 17.11.99 г. - 18%) плюс 0,5%.
19.11.99 г. Банк России объявляет о снижении, начиная» с 20.11.99 г., ставки рефинансирования с 18 до 16%.

Полный срок депозита (17 - 24.11.99 г.) - 8 календарных дней.

24.11.99 г. банк возвращает предприятию сумму депозита и уплачивает начисленные проценты в сумме:
- (45 000 руб. х 18,5% х 3 дня/365 дней) + (45 000 руб. х 16,5% х 4 дня/365 дней) = 149 руб. 79 коп.

Итак, в 1 главе были рассмотрены особенности ценообразования на банковские услуги, из чего складывается цена кредита, представлены основные модели, используемые в зарубежной банковской практике. Кроме того, поэтапно проанализирована ценовая политика в сфере банковских услуг. А также подробно изучены основные аспекты стратегии цен, используемой банками.

В следующей главе все вышеперечисленное будет рассмотрено применительно к Сбербанку России.

Библиографическое описание:

Нестеров А.К. Методы и способы начисления процентов [Электронный ресурс] // Образовательная энциклопедия сайт

Ссудный процент как плата за пользование ссудой имеет определенную величину, определяемую нормой ссудного процента или уровнем процентной ставки.

Методы начисления процента

Норма ссудного процента представляет собой отношение суммы годового дохода кредитора, полученного от предоставленной им ссуды, к сумме ссуды, выраженное в процентах. Синонимом нормы ссудного процента является процентная ставка.

В расчет нормы ссудного процента принимается годовой доход кредитора, следовательно, норма ссудного процента рассчитывается на год.

Существуют следующие научные методы начисления процентов :

Метод "стоимость плюс"
Модель ценового лидерства

Метод "стоимость плюс"

Метод "стоимость плюс" предполагает, что банкам известны все их расходы по предоставлению ссуд любого вида.

Метод начисления ссудного процента по модели "стоимость плюс"

Данная модель расчета процентной ставки основывается на следующих составляющих:

Стоимость привлечения ресурсов для банка;
Банковские операционные расходы, в том числе заработной платы сотрудников кредитного управления, стоимости материалов и оборудования, необходимых для предоставления кредита и контроля за ними;
Компенсация банку за уровень риска невыполнения обязательств;
Желаемая маржи прибыли по каждому кредиту для осуществления достаточных выплат в пользу акционеров банка.

Существенным недостатком данной модели является изначальное предположение о том, что банк знает точно свои расходы и может устанавливать ставку по кредиту без учета действий других банков, являющихся конкурентами на рынке ссудного капитала. Учитывая несоразмерность данных ограничений, в банковской практике появилась модель "ценового лидерства".

Модель ценового лидерства

Метод начисления ссудного процента по модели "ценового лидерства"

Базовая ставка – это самая низкая ставка, предлагаемая наиболее кредитоспособным клиентам по краткосрочным кредитам в оборотный капитал. Сумма премий за риск по данному кредиту обычно называется надбавкой.

Модель надбавки является модификацией предыдущей модели. Появление данной модели обусловлено ростом конкуренции на рынке ссудного капитала между крупными банками, как следствие, некоторые банки стали проводить активную кредитную политику по ставкам, близким к стоимости привлечения ссудных ресурсов.

Модель определения ссудного процента по методу надбавки

Если используется данная модель, то ставка по краткосрочному кредиту может оказаться на 2-3 процентных пункта ниже установленной базовой ставки, что снижает значимость последней в качестве справочной ставки по кредитам предприятиям. Установление незначительного размера маржи по подобным кредитам привело к широкому распространению практики участия в кредитах, когда крупные банки стали активнее делить свои крупнейшие кредиты с мелкими банками, получая доход от комиссионного вознаграждения и перемещая, как минимум, часть подобных кредитов в банки с более низкой стоимостью привлечения средств.

Метод верхнего предела ставки является также разновидностью модели ценового лидерства. В данной модели учитывается согласованный верхний предел ставки по кредиту вне зависимости от будущей динамики процентных ставок . При использовании данной модели заемщику предлагается плавающая ставка по следующему принципу.

Метод начисления процентов по верхнему пределу ставки

Например, при базовой ставке 10% предлагается кредит по ставке 10% + 2% при максимуме в 5% сверх первоначальной ставки. В этом случае первоначальная ставка будет равна 10+2=12%, а затем может повыситься, не более чем до 17% (12%+5%), вне зависимости от того, какого уровня достигнут рыночные ставки в течение срока действия данного договора.

Верхний предел ставки предоставляется банками своим клиентам как особое вознаграждение, т.к. дают заемщику уверенность относительно максимальной стоимости кредита, поскольку любые проценты, уплаченные сверх этой ставки, будут возмещены заемщику или единовременно раз в год, или по окончании срока действия кредитного договора.

Метод "стоимость – выгодность"

Метод "стоимость – выгодность" состоит из трех элементов.

Метод начисления процентов "стоимость-выгодность"

Согласно методу "стоимость – выгодность" рассмотрим следующий пример. Заемщик открывает кредитную линию на сумму 1 000 000 руб., но по факту использует только 800 000 руб. по ставке 20%. Дополнительно, он должен уплатить комиссию за обязательство в 1% суммы неиспользованной кредитной линии. Заемщик должен поддерживать компенсационные остатки в размере 20% использованной сумму и в размере 5% неиспользованной суммы. Требования по резервированию, установленные Центральным Банком, составляют 10%. В соответствии с методом "стоимость – выгодность" произведем расчеты:

Оценка дохода по кредиту = Использованная часть кредитной линии + Неиспользованная часть кредитной линии

800 000 * 0,2 + 200 000 * 0,01 = 162 000 руб.

Оценка размера средств банка, используемых заемщиком = Используемая сумма кредита – Требования к компенсационным остаткам + Требования к резервированию

800 000 – (800 000 * 0,2 + 200 000 * 0,05) + 0,1 * (800 000 * 0,2 + 200 000 * 0,05) = 613 000 руб.

Оценка прибыли банка по данному кредиту до налогообложения = 162 000 / 613 000 * 100% = 26,43%.

Метод анализа доходности клиента

Метод анализа доходности клиента основан на расчете сумм доходов и расходов в корреспонденции с операциями по счетам клиента. К доходам относятся комиссии, плата за обслуживание счетов, проценты по конверсионным операциям, оплата различных услуг банка и т.д. Параллельно оцениваются среднеквартальные остатки на счетах, обороты по счетам. К расходам относятся операционные расходы, проценты, начисленные на остатки по счетам клиента, процентные расходы, расходы на привлечение средств из сторонних источников и т.д.

Чистый доход клиента определяется как разница между полученными доходами и понесенными расходами:

ЧД = Д – Р

ЧД – чистый доход по клиенту

Д – суммарный доход, получаемый банком по операциям клиента

Р – суммарный расход, приходящийся на клиента

Доходность клиента определяется как отношение чистого дохода к суммарному доходу в процентах:

ДК = ЧД / Д * 100%

Расчет ставки ссудного процента производится на основе действующих методик и внутренней кредитной политики банка.

Для начисления банки используют различные способы. В банковской практике различных стран используемые способы начисления процентов различаются характером измерения количества дней пользования ссудой и продолжительностью года в днях.

Фактически, в зависимости от количества дней наибольшее распространение имеют три практических способа начисления процентов .

Точные проценты с фактическим числом дней ссуды (английская практика). Используется в российской практике.
Обычные проценты с точным числом дней ссуды (французская практика).
Обычные проценты с приближенным числом дней ссуды (германская практика).

При начислении процентов за пользование ссуженной стоимости используется способ простых и сложных процентов.

При способе простых процентов их начисление производится на постоянную базу, которой выступает первоначальный размер ссуженной стоимости. Расчет производится по формуле:

где S – сумма выплат по кредиту с учетом первоначального долга (наращенная сумма долга);

P – первоначальный долг;

n – продолжительность ссуды в годах или отношение периода пользования ссудой в днях к применяемой базе исчисления (360 или 365 дней);

i – процентная ставка.

Данный способ расчета, как правило, используется при краткосрочном кредитовании.

"На практике обычно банкам приходится производить обратную операцию, т.е. определять первоначальную сумму долга исходя из наращенной" . Эта операция проводится по формуле математического дисконтирования, имеющей следующий вид:

P = S / (1 + ni)

Метод простых процентов также предусматривает корректировку на срок фактического использования кредита. Если заемщик осуществляет погашение кредита постепенно, метод простых процентов позволяет определить снижение остатка задолженности и соответственно сумму уплачиваемых процентов. При применении этого метода заемщик экономит на процентных выплатах по мере приближения срока погашения кредита.

Проценты выплачиваются кредитору или по мере их начисления, или присоединяются к сумме долга.

При покупке (учете) векселей используется следующая формула:

Р = S (1 – nd)

где d – ставка дисконтирования (учетная ставка).

Данный вид учета применяют при покупке (учете) векселей и других краткосрочных обязательств. Суть операции заключается в том, что банк до наступления срока платежа по векселю покупает его у владельца по цене, меньше той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, т.е. приобретает его с дисконтом. Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует дисконт.

Способ сложных процентов применяется при долгосрочном кредитовании, когда по истечении периода начисления новое начисление процентов производится на наращенную сумму. Расчет производится по следующим формулам:

При постоянной ставке процентов:

При переменной ставке:

S = P (1+ i 1) n1 * (1 + i 2) n2 *: * (1 + i k) nk

В условиях инфляции при определении процентной ставки необходимо учитывать уровень инфляции. Уровень процентной ставки, учитывающий инфляцию, может быть рассчитан 2-мя способами:

1. Приближенный способ:

где f – уровень инфляции в процентах.

2. Точный способ:

if = i + f + i * f / 100

Также на практике может использоваться комбинированная схема простых и сложных процентов, которая применяется, если кредит более года, но не насчитывает точное число лет.

Учитывая все аспекты существующих на сегодняшний день ссудных операций, можно говорить о необходимости проработанных подходов к вычислению ссудного процента. В современных условиях развития денежно-кредитных отношений существует не одна модель определения ссудного процента, используемые в зависимости от политики владельца капитала и спроса на него со стороны заемщиков.

Ллитература

Финансы. / Под. ред. А. Г. Грязновой, Е. В. Маркиной. – М.: Эксмо, 2015. – 496 с.
Сребник Б.В. Финансовые рынки. – М.: Инфра-М, 2015. – 366 с.
Финансы. / Под ред. В. В. Ковалева.– М.: Изд-во Проспект, 2014. – 538 с.
Воронцовский А.В. Современные теории рынка капитала. – СПб.: изд-во СПбГУ, 2010. – 719 с.

И расчет параметров этой сделки.

Курс финансовой математики состоит из двух разделов: разовые платежи и потоки платежей. Разовые платежи — это финансовые сделки, при которых каждая сторона, при реализации условий контракта выплачивает сумму денег только один раз (либо дает в долг, либо отдает долг). Потоки платежей — это финансовые сделки, при которых каждая сторона при реализации условий контракта производит не менее одного платежа.

В финансовой сделке участвуют две стороны — кредитор и заемщик. Каждой стороной может быть как банк, так и клиент. Основная финансовая сделка — предоставление некоторой суммы денег в долг. Деньги не равносильны относительно времени. Современные деньги, как правило, ценнее будущих. Ценность денег во времени отражается в величине начисляемых процентных денег и схеме их начисления и выплаты.

Математическим аппаратом для решения таких задач является понятие "процентов" и и .

Проценты — основные понятия

Процент — одна сотая от заранее оговоренной базы (то есть база соответствует 100%).

Примеры:

Ответ: больше на

	первоначальная сумма долга
(дни)	фиксированный промежуток времени, к которому приурочена процентная (учетная) ставка (как правило, один год — 365, иногда 360 дней)
	процентная (учетная) ставка за период
	срок долга в днях
	срок долга в долях от периода
	сумма долга в конце срока

Процентная ставка

Процентная ставка — относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени. Отношение дохода (процентных денег — абсолютная величина дохода от представления денег в долг) к сумме долга.

Период начисления — это временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, его не следует путать со сроком начиления. Обычно в качестве такого периода принимаю год, полугодие, квартал, месяц, но чаще всего дело имеют с годовыми ставками.

Капитализация процентов — присоединение процентов к основной сумме долга.

Наращение — процесс увеличения суммы денег во времени в связи с присоединением процентов.

Дисконтирование — обратно наращению, при котором сумма денег, относящаяся к будущему уменьшается на величину соответствующую дисконту (скидке).

Величина называется множителем наращения, а величина — множителем дисконтирования при соответствующих схемах.

Интерпретация процентной ставки

При схеме "простых процентов " исходной базой для начисления процентов в течение всего срока долга на каждом периоде применения процентной ставки является первоначальная сумма долга .

При схеме "сложных процентов " (для целых ) исходной базой для начисления процентов в течение всего срока на каждом периоде применения процентной ставки является наращенная за предыдущий период сумма долга.

Присоединение начисленных процентных денег к сумме, которая служит базой для их вычисления, называется капитализацией процентов (или реинвестированием вклада). При применении схемы "сложных процентов" капитализация процентов происходит на каждом периоде .

Интерпретация учетной ставки

При схеме "простых процентов" (простой дисконт ) — исходной базой для начисления процентов в течение всего срока долга на каждом периоде применения учетной ставки является сумма , подлежащая выплате в конце срока вклада.

При схеме "сложных процентов" (для целых ) (сложный дисконт ) — исходной базой для начисления процентов в течение всего срока на каждом периоде применения учетной ставки является сумма долга в конце каждого периода.

Простая и сложная процентные ставки

"Прямые" формулы

	Простые проценты	Сложные проценты
— процентная ставка			наращение
— процентная ставка			дисконтирование (банковский учет)

"Обратные" формулы

	Простые проценты	Сложные проценты
— процентная ставка			дисконтирование (математический учет)
— процентная ставка			наращение

Переменная процентная ставка и реинвестирование вкладов

Пусть срок долга имеет этапов, длина которых равна , ,

— при схеме простых процентов

1 . В контракте предусмотрено начисление а) простого, б) сложного процента в таком порядке: в первом полугодии по годовой процентной ставке 0,09, потом в следующем году ставка уменьшилась на 0,01, а в следующих двух полугодиях увеличилась на 0,005 в каждом из них. Найти величину наращенного вклада в конце срока, если величина первоначального вклада равна $800.

Рыночная процентная ставка как важнейший макроэкономический показатель

Важным выступает процентная ставка. Процентная ставка — это плата за деньги, предоставляемые в . Были времена, когда законом не допускалось вознаграждение за то, что неизрасходованные, заемные деньги давали в заем. В современном мире широко пользуются кредитами, за пользование которыми устанавливается процент. Поскольку процентные ставки измеряют издержки использования денежных средств предпринимателями и вознаграждение за неиспользование денег потребительским сектором, то уровень процентных ставок играет значительную роль в экономике страны в целом.

Очень часто в экономической литературе пользуются термином "процентная ставка", хотя существует множество процентных ставок. Дифференциация процентных ставок связана с риском, на который идет заимодатель. Риск возрастает с увеличением срока кредита, так как становится выше вероятность того, что деньги могут потребоваться кредитору раньше установленной даты возврата ссуды, соответственно повышается процентная ставка. Она увеличивается, когда за кредитом обращается малоизвестный предприниматель. Мелкая фирма уплачивает более высокую процентную ставку, чем крупная. Для потребителей процентные ставки также варьируются.

Однако как бы ни отличались ставки процента, все они находятся под воздействием : если предложение денег уменьшается, то процентные ставки увеличиваются, и наоборот. Именно поэтому рассмотрение всех процентных ставок можно свести к изучению закономерностей одной процентной ставки и в дальнейшем оперировать термином "процентная ставка"

Различают номинальные и реальные процентные ставки

Реальная процентная ставка определяется с учетом уровня . Она равна номинальной процентной ставке, которая устанавливается под воздействием спроса и предложения, за вычетом уровня инфляции:

Если, например, банк предоставляет кредит и взимает при этом 15%, а уровень инфляции составляет 10%, то реальная процентная ставка равна 5% (15% — 10%).

Способы начисления процентов:

Простая процентная ставка

График роста по простым процентам

Пример

Определить проценты и сумму накопленного долга если ставка по простым процентам 20% годовых, ссуда равна 700 000 руб., срок 4 года.

I = 700 000 * 4 * 0,2 = 560 000 руб.
S = 700 000 + 560 000 = 1 260 000 руб.

Ситуация, когда срок ссуды меньше периода начисления

Временная база может быть равна:

360 дней. В в этом случае получают обыкновенные или коммерческие проценты .
365 или 366 дней. Используется для расчета точных процентов .

Число дней ссуды

Точное число дней ссуды — определяется путем подсчета числа дней между датой ссуды и датой ее погашения. День выдачи и день погашения считаются за один день. Точное число дней между двумя датами можно определить по таблице порядковых номеров дней в году.
Приближенное число дней ссуды — определяется из условия, согласно которому любой месяц принимается равным 30 дням.

На практике применяются три варианта расчета простых процентов:

Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365)
Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (банковский; 365/360). При числе дней ссуды, превышающем 360, данный способ приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой ставкой.
Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360). Применяется в промежуточных рассчетах, так как не сильно точный.

Пример

Ссуда в размере 1 млн.рублей выдана 20 января до 5 октября включительно под 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов? Рассчитать в трех вариантах подсчета простых процентов.

Для начала определим число дней ссуды: 20 января это 20 день в году, 5 октября — 278 день в году. 278 — 20 = 258. При приближенном подсчете — 255. 30 января — 20 января = 10. 8 месяц умножить на 30 дней = 240. итого: 240 + 10 + 5 = 255.

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365)

S = 1 000 000 * (1 + (258/365)*0.18) = 1 127 233 руб.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (360/365)

S = 1 000 000 * (1 + (258/360)*0.18 = 1 129 000 руб.

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360)

S = 1 000 000 (1 + (255/360)*0.18 = 1 127 500 руб.

Переменные ставки

В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется следующим образом.

Виды процентных ставок и способы начисления процентов. Простые проценты.

Основным свойством денег является их временная ценность, связанная с

− наличием инфляции,

− обращением капитала.

Деньги, относящиеся к различным моментам времени, неравноценны, например, сегодняшние деньги ценнее будущих, а будущие, в свою очередь, менее ценны, чем сегодняшние при равенстве их сумм.

Предмет финансовой математики – это специальные модели и алгоритмы, связанные с проблемой «деньги – время» и позволяющие оценить будущие доходы с позиции текущего момента.

Основными задачами финансовой математики являются:

− измерение конечных результатов финансовой операции;

− разработка планов выполнения финансовых операций;

− оценка зависимости конечных результатов операции от ее условий;

− определение допустимых критических значений параметров операции и расчет параметров эквивалентного (безубыточного) изменения первоначальных условий финансовой операции.

Любая финансовая операция, инвестиционный проект или коммерческое соглашение предполагают наличие ряда условий их выполнения, с которыми согласны участвующие стороны.

К таким условиям относятся следующие количественные данные:

− денежные суммы,

− временные параметры,

− процентные ставки.

Под процентами, понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой его форме: выдача ссуды, продажа товара в кредит, помещение денег на депозитный счет, учет векселя, покупка сберегательного сертификата или облигации и т.д.

Под процентной ставкой понимается относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени – отношение дохода (процентных денег) к сумме долга.

Она измеряется в процентах. При выполнении расчетов процентные ставки обычно измеряются в десятичных дробях.

Временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, называют периодом начисления. В качестве такого периода принимают год, полугодие, квартал, месяц или даже день. Чаще всего на практике имеют дело с годовыми ставками.

Проценты согласно договоренности между кредитором и заемщиком выплачиваются по мере их начисления или присоединяются к основной сумме долга (капитализация процентов).

Процесс увеличения суммы денег во времени в связи с присоединением процентов называют наращениемэтой суммы.

Возможно определение процентов и при движении во времени в обратном направлении – от будущего к настоящему. В этом случае сумма денег, относящаяся к будущему, уменьшается на величину соответствующего дисконта(скидки). Такой способ называют дисконтированием(сокращением).

Размер процентной ставки зависит от:

− общего состояния экономики, в том числе денежно-кредитного рынка;

− кратковременных и долгосрочных ожиданий его динамики; вида сделки, ее валюты; срока кредита;

− особенностей заемщика (его надежности) и кредитора, истории их предыдущих отношении и т. д.

Простые проценты

Под наращенной суммойссуды (депозита, инвестированных средств, платежного обязательства и т.п.) понимается ее первоначальная сумма с начисленными на нее процентами к концу срока наращения.Величина наращенной суммы представляет собой произведение первоначальной суммы ссуды на множитель наращения, который показывает во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной.В зависимости от применяемой процентной ставки и условий наращения формула расчета множителя наращения записывается по-разному.

Например, для наращения по простым процентам наращенная сумма (S) будет рассчитываться так:

где Р – первоначальная сумма ссуды, ден. ед.; п –срок ссуды (а днях, месяцах, годах и т. п.); i – ставка наращения (простая постоянная), ед.

Выражение (1 + ni) называется множителем наращения.

В финансово-экономических расчетах срок ссуды обычно измеряется годами, поэтому значение ставки наращения i есть значение годовой ставки процентов. Проценты, начисленные за весь срок ссуды, в этом случае составят:

где I – процентная сумма (величина дохода), ден. ед.

Представленная выше формула называется формулой простых процентов, а величину I можно определить как процентный доход, или процентные деньги (проценты).

В практической работе банки, коммерческие организации, финансовые институты и т.п. используют различные способы изменения числа дней ссуды (t) и продолжительности года (временной базыдля расчета процентов) в днях (К).В зависимости от того, как определяются величины t и К– точно, или приблизительно применяются следующие варианты («практики», «системы») начисления простых процентов.

1. Точные проценты с фактическим числом дней ссуды(так называемая «английская» практика).Этот вариант дает самые точные результаты и применяется многими центральными и крупными коммерческими банками мира. В этом случае K=365 дням, а в месяцах 28, 29, 30 и 31 день.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды(так называемая «французская»практика или банковский метод).Этот вариант дает несколько больший результат, чем применение точных процентов.Так, если число дней ссуды превышает 360, то данный способ измерения времени приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой ставкой. Например, при t = 363 дням, n=363:З60=1,0083, а множитель наращения за этот период будет равен: 1+1,0083*i.

3.Обыкновенные проценты с приближенным числом днейссуды («германская»практика). Подсчет числа дней в этом варианте базируется на годе в 360 дней и месяцах по 30 дней. Поскольку точное число дней ссуды в большинстве случаев больше приближенного, то проценты с точным числом дней обычно больше, чем с приближенным, a следовательно, и наращенная сумма по процентам с точным числом дней обычно выше.

Наращение суммы в случае изменения простой процентной ставки в течение срока ссуды.На практике часто встречается ситуация, когда кредитные договоры (соглашения) предусматривают изменение процентной ставки в течение срока ссуды (например, в связи с изменением ставки рефинансирования; желанием банка учесть темп инфляции и т. д.). При этом годовая ставка процентов, указанная в кредитном договоре, носит название номинальной.В этом случае наращенная сумма будет исчисляться следующим образом:

где i t , – ставка простых процентов в периоде t; t=l,2,...,m; ед.;

n t , – продолжительность периода; лет;

т – число периодов, ед.

Наращение суммы при реинвестировании.В целях повышения заинтересованности вкладчиков и быстрого привлечения дополнительных денежных средств, например, в кратко- и среднесрочные депозиты, банки и финансовые компании могут предлагать производить своим клиентам неоднократное наращение вложенной суммы в пределах общего срока займа, т.е. реинвестировать ее. Иными словами, реинвестирование предполагает присоединение начисленных процентов к исходной (первоначальной) сумме и начисление процентов уже на возросшую сумму, и так несколько раз за период.При таком реинвестировании наращенная сумма рассчитывается по формуле:

где n 1 ,n 2 ,...n t – продолжительность периодов наращения, лет;

причем (общий срок сделки);

i 1 , i 2 , … i t , – ставки реинвестирования, ед.

В частном случае, когда и , т.е. когда периоды начисления и ставки процентов равны формула принимает

где m – число операций реинвестирования, ед.

Пример 1.1. На сумму вклада в размере 50 тыс. р. в течение месяца начисляются простые проценты по ставке 24% годовых. Какова будет наращенная сумма, если эта операция будет повторена в течение 6 мес. текущего года (т.е. при реинвестировании этой суммы шесть раз) при расчете точных процентов с фактическим числом дней ссуды с 1 -го марта?

По условиям примера Р = 50 тыс. р.; i = 0,24. Точное число дней не високосного года, начиная с марта и заканчивая августом составит: 31+30+31+30+31->-31=184 дня.

По формуле получаем:

Пример 1.2. Потенциальный клиент ряда надежных и расположенных в пределах его пешеходной доступности банков города имеет временно свободные денежные средства в размере 10 тыс. р. и хотел бы поместить их на депозитный счет сроком на 1 год. Первый банк (банк А) предлагает ему сделать вклад на условиях ежеквартального начисления по ставке 20% годовых и капитализации (реинвестирования) процентов. Второй банк (банк Б) на следующих условиях: начисление на вклад по ставке 24% годовых дважды в год с капитализацией процентов. Банк В предлагает ежемесячное начисление процентов по ставке 20% годовых и капитализацией начисленных процентов. И, наконец, банк Г предлагает сделать вклад на условиях начисления 25% годовых без капитализации процентов и начисления их в конце срока вклада.

В каком из банков вкладчик может получить наибольшую сумму по окончании срока договора?

По условиям примера Р = 10тыс. р.; i 1 = 20% ; i 2 = 24% ; i 3 = 20%; i 4 = 25%. Учитывая, что начисление процентов происходит ежеквартально, по полугодиям и ежемесячно с капитализацией, и только в банке Г – в конце года (без реинвестирования), по формуле и получим (тыс. р.):

Наращенная сумма при вкладах в конце и в начале каждого года.

Довольно часто по условиям договоров вклада депозитных договоров банки предусматривают возможность довложения определенной (часто – не выше первоначальной) денежной суммы.

В случае если вклады делаются в конце каждого года, то наращенная сумма составит:

где m – число вкладов, ед.; D – величина вклада, ден. ед.

Если вклады по своей величине равны, т.е. D 1 =D 2 =D 3 =D m , Т о формулу можно записать так:
,

или, учитывая, что ,

можно окончательно написать: .

Очевидно, что наращение по ставке простых процентов в случае, когда довложения делаются в начале года, существенно выгоднее по сравнению в довложениями в конце года.Это происходит потому, что в первом случае увеличивается на один год наращения.

Расчет суммы необходимого депозита при ежегодных выплатах. Довольно часто (особенно при работе с клиентами – пенсионерами, со вкладами на несовершеннолетних и т.п.) работники банка, работающие со вкладами населения, сталкиваются с задачей определения необходимой первоначальной суммы вклада (депозита) клиента, который смог бы обеспечить ему определенные ежегодные выплаты в течении n лет по заранее оговоренной ставке процентов. В общем случае эта задача сводится к решению задачи определения «вечной» ренты, которая подробно будет рассмотрена ниже. Сейчас же рассмотрим ее решение исходя из тех знаний, которые мы уже имеем.

Используя формулу , можно составить следующее уравнение:

где Р 1 ,Р 2 ,…,Р n – определенные ежегодные выплаты, ден, ед.; п – время выплат, лет.

При условии равенства ежегодных выплат, т.е. при P 1 =P 2 = Р 3 = Рn формулу можно преобразовать в выражение следующего вида:

Для приближенных, оценочных расчетов величины первоначального вклада можно использовать примерное равенство выражений:

Пример 1.3. Рассчитать необходимую первоначальную величину депозита клиента для того, чтобы он имел возможность ежегодно в течении 5 лет получать со своего счета в банке сумму в размере 6 тыс. руб. при начислении простой процентной ставки, равной 30% годовых.

По условиям примера Р=6 тыс. руб.; i n =30%; n=5 лет. Используя формулу , получим (тыс. р.):

Расчет по формуле
дает следующий результат:

Расхождение по сравнению с результатом, полученным по первой формуле, равно – 0,046 тыс. руб., или менее 0,3%. Как видим, расчет по второй формуле дает вполне приемлемый результат.

Расчет срока ссуды и уровня процентной ставки.При подготовке обоснования для получения ссуды и расчета ее эффективности возникает задача определения срока ссуды и уровня процентной ставки при имеющихся прочих условиях. В этом случае срок ссуды может быть определен как в годах, так и в днях:

в годах ;

в днях .

Соответственно и размер процентной ставки может быть определен при исчислений срока ссуды в годах как: ,

а при исчислении срока ссуды в днях так: .

Наращение и равномерная выплата процентов в потребительском кредите. В потребительском кредите, т.е. кредите, как правило, на личные нужды для приобретения товаров (или услуг) проценты начисляются на всю сумму кредита и присоединяются к основному долгу чаще всего уже в момент открытия кредита. Такой подход называется разовым начислением процентов, апогашение долга с процентами в этом случае производится обычно равными суммами на протяжении всего срока кредита. Наращенная сумма долга при таком подходе рассчитывается по формуле , а величина разового погасительного платежа (R) так:

где т – число погасительных платежей по кредиту в году, ед.

Заметим, что в связи с тем, что проценты начисляются на первоначальную сумму долга, а фактическая его величина постоянно уменьшается со временем, действительная процентная ставка (по фактически использованному кредиту) оказывается заметно выше, чем ставка по первоначальным договорным условиям.

Вопросы для самопроверки:

1. Что является предметов финансовой математики?

2. Какую роль играет время в финансовых расчетах?

3. Перечислите виды процентных ставок.

4. Что такое наращенная сумма?

5. Что такое дисконтирование?

6. Как определяется величина процентной ставки?

7. Как рассчитывается срок ссуды.

Тема 3.1.-3.2. Понятие эквивалентности процентных ставок. Вывод формул эквивалентности процентных ставок на основе равенства множителей наращения. Принцип финансовой эквивалентности обязательств. Уравнение эквивалентности. Объединение (консолидация) платежей.

Вопросы для рассмотрения:

1. Эквивалентность процентных ставок. Общие принципы.

2. Эквивалентность простой и сложной процентной ставки с начислением процентов 1 раз в год.

3. Эквивалентность простой процентной ставки и сложной с начислением процентов m раз в год.

4. Эквивалентность сложной процентной ставки с начислением процентов 1 раз в год и сложной процентной ставки с начислением процентов m раз в год.

5. Эквивалентность непрерывной процентной ставки и простой процентной ставки.

6. Эквивалентность непрерывной процентной ставки и сложной процентной ставки с начислением 1 раз в год.

7. Эквивалентность непрерывной процентной ставки и простой процентной ставки с начислением m раз в год.

8. Средняя процентная ставка.

9. Финансовая эквивалентность обязательств.

1. Принцип финансовой эквивалентности обязательств

В финансовой практике часто возникают ситуации, когда необходимо заменить одно обязательство другим, например, с более отдаленным сроком платежа, досрочно погасить задолженность, объединить несколько платежей в один (консолидировать платежи), изменить схему начисления процентов и т. п. Таким общепринятым принципом, на котором базируются изменения условий контрактов, является финансовая эквивалентность обязательств.

Изменение условий контракта основывается на принципе финансовой эквивалентности обязательств , который позволяет сохранить баланс интересов сторон контракта. Этот принцип предполагает неизменность финансовых отношений до и после изменения условий контракта. При изменении способов начисления процентов необходимо учитывать взаимозаменяемость между различными видами процентных ставок.

Эквивалентными называются процентные ставки , которые при замене одной на другую приводят к одинаковым финансовым результатам, т.е. отношения сторон не изменяются в рамках одной финансовой операции.

При изменении условий платежей также необходимо учитывать разновременность платежей, которые производятся в ходе выполнения условий контракта до и после его изменения. Эквивалентными считаются такие платежи , которые оказываются равными после их приведения по заданной процентной ставке к одному моменту времени, либо после приведения одного из них к моменту наступления другого по заданной процентной ставке.

Приведение осуществляется путем дисконтирования (приведение к более ранней дате) или, наоборот, наращения суммы платежа (если эта дата относится к будущему).

Если при изменении условий контракта принцип финансовой эквивалентности не соблюдается, то одна из участвующих сторон терпит ущерб, размер которого можно заранее определить.

2. Эквивалентность процентных ставок

Для нахождения значений эквивалентных процентных ставок следует составлять уравнение эквивалентности.

Эквивалентность простой процентной и простой учетной ставок. Исходные уравнения для вывода эквивалентности

S = P (1 + n ∙ i ) и

Если результаты наращения равны, то получаем уравнение

P (1 + n ∙ i ) = .

Отсюда 1 + n ∙ i =

и .

Для одних и тех же параметров ссуды условие эквивалентности приводит к тому, что d < i . При этом с ростом срока финансовой операции различие между ставками увеличивается.

Пример 1 . Определить простую учетную ставку, эквивалентную ставке обычных процентов 12 % годовых, при наращении за 2 года.

Решение . Параметры задачи: n = 2 года, i = 12 %. Тогда

d = 0,12/(1 + 2 ∙ 0,12) = 0,0968 или 9,7 %.

Следовательно, операция, в которой принята учетная ставка 9,7 %, дает тот же финансовый результат для 2-годичного периода, что и простая ставка 12 % годовых.

Эквивалентность простой и сложной процентных ставок. Наращенные суммы по простой и сложной процентным ставкам равны

и .

Если равны результаты наращения, то уравнение эквивалентности

= .

Отсюда
и .

При начислении процентов m раз в году аналогично рассуждая, получим: и
.

Пример 2 . Предполагается поместить капитал на 4 года либо под сложную процентную ставку 20 % годовых с полугодовым начислением процентов, либо под простую процентную ставку 26 % годовых. Найти оптимальный вариант.

Решение . Параметры задачи: n = 4 года, m = 2, i с = 20 %, i п = 26 %. Находим для сложной процентной ставки эквивалентную простую ставку:

0,285 9 или 28,59 %.

Таким образом, эквивалентная сложной ставке, по первому варианту, простая процентная ставка составляет 28,59 % годовых, что выше предлагаемой простой ставки в 26 % годовых по второму варианту. Следовательно, выгоднее разместить капитал по первому варианту, т.е. под 20 % годовых с полугодовым начислением процентов.

Пример 3. По трёхмесячному депозиту назначена ставка 10,2 % годовых. Какую ставку годовых процентов следует назначить на ежемесячные депозиты, чтобы последовательное переоформление этих депозитов привело к такому же результату, что и использование трёхмесячного депозита, если пренебречь двумя днями, которые теряются при переоформлении депозитов (T =360)?

Решение . Приравняем соответствующие множители наращения:

Отсюда получаем, что i = 0,101 1 или 10,11 %.

Простые проценты.

. Из равенства: получаем: , где i – простая ставка процентов, характеризующая требуемую реальную доходность финансовой операции (нетто-ставка); i τ – процентная ставка с поправкой на инфляцию.

Это ставка, скорректированная на инфляцию, называется брутто-ставкой.

Сложные проценты.

Проценты 1 раз в год:

Наращенная сумма при отсутствии инфляции равна , а ее эквивалент в условиях инфляции равен . Из равенства: получаем:
из которой можно сравнивать уровни процентной ставки и инфляции, проводить анализ эффективности вложений и устанавливать реальный прирост вложенного капитала.

Проценты m раз в год:

При начислении процентов несколько раз в год:

Эти модели позволяют производить учет инфляции и корректировку процентных ставок.

Годовая ставка сложных процентов, обеспечивающая реальную доходность кредитной операции, определяется по формуле Фишера, связывает три показателя:

R – номинальная процентная ставка, α – уровень инфляции

r – реальная процентная ставка (доходность финансовой операции)

, , .

Пример 4.1. Годовой темп инфляции 20%. Банк рассчитывает получить 10% реального дохода в результате предоставления кредитных ресурсов. Какова номинальная ставка, по которой банк предоставит кредит?

На практике довольно часто довольствуются сравнением i и τ путем вычисления реальной ставки , т.е. уменьшенной ставки доходности на уровень инфляции:

i = (i - τ) / (1 + τ)

Поскольку покупательная способность денег снижается в условиях инфляции, то происходит обесценивание денежных доходов. Поэтому при наращении денег на депозите вкладчик должен сопоставить номинальную процентную ставку, т.е. ставку, указанную в договоре, с величиной индекса потребительских цен.

Вычисление наращенных сумм

Получаем формулу: или, где - уровень инфляции.

Реальная стоимость С суммы S , обесцененная во времени за счет инфляции при индексе цен , рассчитывается по формуле:

Если наращение производится по простой ставке в течение n лет, то . С учетом инфляции реальная стоимость суммы S составит

Для определения реальной покупательской способности, наращенную сумму необходимо привести ее к ценам базового периода:
.

Вследствие начисления процентов происходит увеличение денежных сумм, но их стоимость под влиянием инфляции уменьшается. Поскольку каждая денежная единица обесценивается вследствие инфляции, то в дальнейшем обесцениваются уже обесцененные деньги.

Наращение осуществляется по простым или сложным процентам, но инфляция всегда оценивается по сложному проценту.

Наращенная сумма за n лет с учетом ее обесценивания составит:
, здесь множитель наращения, учитывающий темп инфляции.

− Если темп инфляции больше ставки начисляемых процентов, то полученная наращенная сумма не компенсирует потерю покупательной способности денег. Банковская ставка называется отрицательной.

− Если темп инфляции меньше ставки начисляемых процентов, то наблюдается реальный рост покупательной способности денег. Банковская ставка называется положительной.

− Если темп инфляции равен ставке начисляемых процентов, то покупательная способность наращенной суммы равна покупательной способности первоначальной суммы.

Вопросы для самопроверки:

1. Что такое инфляция? Перечислите виды инфляции.

2. Что такое ИПЦ?

3. С какой целью проводят учет инфляции?

4. Что такое номинальная ставка процента? Чем она отличается от реальной ставки?

5. Что такое финансовая операция?

6. Как измерить реальную доходность финансовой операции?

Тема 5.1.-5.2. Понятия видов потоков платежей и их основные параметры. Понятие финансовой ренты. Основные параметры ренты и их вычисление. Различные виды финансовых рент. Виды переменных рент. Постоянная непрерывная рента. Конверсии рент.

Вопросы для рассмотрения:

1. Ренты. Классификация рент.

2. Наращенная сумма финансовой ренты постнумерандно.

3. Современная величина финансовой ренты постнумерандно.

4. Срок финансовой ренты постнумерандно.

5. Член финансовой ренты постнумерандно.

6. Наращенная сумма и современная величина других типов финансовых рент.

7. Определение параметров других типов финансовых рент.

8. Определение процентной ставки финансовой ренты.

Очень часто в контрактах финансового характера предусматриваются не отдельные разовые платежи, а серию платежей, распределенных во времени. Примерами могут быть регулярные выплаты с целью погашения долгосрочного кредита вместе с начисленными на него процентами, периодические взносы на расчетный счет, на котором формируется некоторый фонд различного назначения (инвестиционный, пенсионный, страховой, резервный, накопительный и т.д.), дивиденды, выплачиваемые по ценным бумагам, выплаты пенсий из пенсионного фонда и пр. Ряд последовательных выплат и поступлений называют потоком платежей . Выплаты представляются отрицательными величинами, а поступления - положительными.

Обобщающими характеристиками потока платежей являются наращенная сумма и современная величина. Каждая из этих характеристик является числом.

Наращенная сумма потока платежей - это сумма всех членов последовательности платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты.

Под современной величиной потока платежей понимают сумму всех его членов, дисконтированных (приведенных) на некоторый момент времени, совпадающий с началом потока платежей или предшествующий ему.

Конкретный смысл этих обобщающих характеристик определяется природой потока платежей, причиной, его порождающей. Например, наращенная сумма может представлять собой итоговый размер формируемого инвестиционного или какого-либо другого фонда, общую сумму задолженности. Современная величина может характеризовать приведенную прибыль, приведенные издержки.

5.1. Понятие финансовой ренты (аннуитета)

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом .

Финансовая рента имеет следующие параметры: член ренты - величина каждого отдельного платежа, период ренты - временной интервал между двумя соседними платежами, срок ренты - время, измеренное от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода, процентная ставка - ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту, число платежей в году, число начислений процентов в году, моменты платежа внутри периода ренты.

Виды финансовых рент

Классификация рент может быть произведена по различным признакам. Рассмотрим их.

В зависимости от продолжительности периода, ренты делят на годовые и p-срочные, где p - число выплат в году. Довольно часто в практике встречаются ренты, в которые период выплат превышает год и более (например, в инвестиционной деятельности).

По числу начислений процентов различают ренты с начислением один в году, m раз или непрерывно. Моменты начисления процентов могут не совпадать с моментами рентных платежей.

По величине членов различают постоянные (с равными членами)и переменные ренты . Если размеры платежей изменяются по какому-либо математическому закону, то часто появляется возможность вывести стандартные формулы, значительно упрощающие расчеты.

По вероятности выплаты членов различают ренты верные и условные . Верные ренты подлежат безусловной выплате, например, при погашении кредита. Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события. Поэтому число ее членов заранее неизвестно. Например, число выплат пенсий зависит от продолжительности жизни пенсионера.

По числу членов различают ренты с конечным числом членов или ограниченные и бесконечные или вечные. В качестве вечной ренты можно рассматривать выплаты по облигационным займам с неограниченными или не фиксированными сроками.

Так, например, с необходимостью учета и расчета вечной ренты приходится сталкиваться при финансовых вычислениях, связанных с инвестированием денежных средств или покупкой финансового инструмента (материального объекта), если период их функционирования (возможного получения дохода) достаточно продолжительный и не оговорен конкретными сроками (отсюда и возможность получения бессрочной, т.е. «вечной» ренты), в качестве примера можно привести инвестирование в ценные бумаги крупнейших транснациональных компаний и государства (при отсутствии срока окончания их обращения), покупку доходных гостиниц, ферм, участков земли, производств и т.п.

В зависимости от наличия сдвига момента начала ренты по отношению к началу действия контракта или какому-либо другому моменту ренты подразделяются на немедленные и отложенные или отсроченные . Срок немедленных рент начинается сразу, а у отложенных запаздывает.

Ренты различают по моменту выплаты платежей. Если платежи осуществляются в конце каждого периода – года, полугодия, месяца и т.п., то такие ренты называются обычными или постнумерандо . Если же выплаты производятся в начале каждого периода, то ренты называются пренумерандо . Иногда предусматриваются платежи в середине каждого периода.

постнумерандо(когда платежи осуществляются в конце соответствующих периодов) и ренты пренумерандо(когда соответствующие платежи осуществляются в начале указанных периодов). Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования.

Рента пренумерандо отличается от обычной ренты числом периодов начисления процентов. Поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо будет больше наращенной суммы обычной ренты в (1 + i ) раз.

Нечасто, но встречаются на практике и ренты, платежи по которым производятся в середине периодов. Такие ренты называются миннумерандо .Примером такой ренты могут служить, в ряде случаев, авансовые платежи по аренде помещений, а также полугодовые оплаты трат по внешнеторговым контрактам.

Чаще всего в практических финансово-экономических расчетах решается, по существу, двуединая задача определения наращенной суммыили современной величины(стоимости) потока платежей. В данном контексте под современной величиной потока платежей понимается сумма всех его членов, дисконтированных на некоторый момент времени, совпадающий с началом потока платежей, или упреждающий его. Она может характеризовать капитализированный доход, чистую приведенную прибыль, приведенные издержки, эффективность инвестиций и валютно-финансовых условий внешнеторговых контрактов, доходность вкладов и депозитов и др. финансово-экономических и коммерческих операций.

Формулы наращенной суммы

Обычная годовая рента

Пусть в конце каждого года в течение n лет на расчетный счет вносится по R рублей, проценты начисляются один раз в года по ставке i . В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины , так как на сумму R проценты начислялись в течение n-1 года. Второй взнос увеличится до и т.д. На последний взнос проценты не начисляются. Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической прогрессии

В которой первый член равен R , знаменатель (1+i) , число членов n . Эта сумма равна

где - по схеме постнумерандо.

- по схеме пренумерандо. (1.2)

Пример: В течение 3 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн. руб., на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке 10%. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение:
млн. руб.